2020-2021学年北京某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）)1.圆ݕ的半径为（）A.B.C.D.2.如图，四棱柱ܤܥܤܥ的底面ܤܥ为平行四边形，已知ܤݕ，ܥݕ，ݕ，则用向量，，可表示向量ܤܥ为（）A.B.C.D.3.直线ݕ的倾斜角为（）A.B.C.D.4.关于直线，以及平面，，下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，且，则D.若，，则5.椭圆ݕ的焦点坐标是（）A.B.C.D.6.已知直线ݕ线直和ݕ平行，则实数的值为（）A.B.C.和D.7.“ݕ圆与ݕ圆“是“ݕ相切”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.在正方体ܤܥܤܥ中，若点（异于点ܤ）是棱上一点，则满足ܤ与所成的角为的点的个数为（）A.B.C.D.试卷第1页，总8页,二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）)9.在空间直角坐标系中点＝关于轴的对称点的坐标是________．10.已知双曲线ݕ为程方线近渐条一的ݕ，那么该双曲线的离心率为________．11.三棱锥ܤ中，ܥ，分别为ܤ，的中点，记三棱锥ܥܤ的体积为，ܤ的体积为，则ݕ________．12.已知直线＝过定点，则定点的坐标为________．13.由直线ݕ圆向点一上ݕ引切线，则切线长的最小值为________．14.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线：＝恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过；③曲线围成区域的面积大于；④方程＝表示的曲线在第二象限和第四象限．其中正确结论的序号是________．三、解答题（本大题共3小题，共38分）)15.如图，矩形ܤܥ所在平面与半圆弧ܥ所在平面垂直，是ܥ上异于，ܥ的点．（1）证明：平面ܥ平面ܤ；（2）若点是线段的中点，求证：平面ܤܥ．16.在平面直角坐标系中，已知菱形ܤܥ的顶点和，ܤ所在直线的方程为＝，（1）求对角线ܤܥ所在直线的方程；（2）求ܥ所在直线的方程．试卷第2页，总8页,17.在如图所示的多面体中，平面ܤ，ܥܤ平面ܤ，ܤ，且＝ܤ＝ܤܥ＝＝，是ܤ的中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求平面与平面ܤܥ所成的锐二面角的余弦值；Ⅲ在棱ܥ上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．四、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）)18.已知和ܤ两点到直线＝的距离相等，则的值为________．19.如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为________．20.设是椭圆ݕ上的一点，，是椭圆的两个焦点，则的最大值为________；最小值为________．21.平行六面体ܤܥܤܥ中，既与ܤ共面也与共面的棱的条数为________．22.已知棱长为的正方体ܤܥܤܥ中，为侧面ܤܤ中心，在棱ܥ上运动，正方体表面上有一点满足ܥݕܥܥ，则所有满足条件的点构成图形的面积为________．试卷第3页，总8页,23.实数，满足＝，，则的取值范围为________]．五、解答题（本大题共2小题，共26分）)24.已知曲线＝和直线＝．（1）当曲线表示圆时，求的取值范围；（2）当曲线表示圆时，被直线截得的弦长为．求的值（3）是否存在实数，使得曲线与直线相交于，两点．且满足（其中为坐标原点）．若存在．求的值：若不存在，请说明理由．25.已知椭圆ݕ长轴长是短轴长的倍，在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交所得弦长为，求直线的斜率；（3）过点的任意直线与椭圆交于、ܤ两点，设点、ܤ到直线＝的距离分别为、ܤ，若ݕ，求的值．ܤܤ试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年北京某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.B2.B3.D4.D5.D6.B7.A8.B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.10.11.12.13.14.②④三、解答题（本大题共3小题，共38分）15.矩形ܤܥ所在平面与半圆弦ܥ所在平面垂直，所以ܥ半圆弦ܥ所在平面，且半圆弦ܥ所在平面，所以ܥ；又是ܥ上异于，ܥ的点，所以ܥ；又ܥܥ＝ܥ，所以平面ܥ；又平面ܤ，所以平面ܥ平面ܤ；由是的中点，连接ܤܥ交于点，连接，如图所示由中位线定理得；又平面ܤܥ，平面ܤܥ，所以平面ܤܥ．16.如图所示，菱形ܤܥ的顶点和，所以的中点，直线的斜率为ݕݕ，试卷第5页，总8页,ܤܥ的斜率为ܤܥ＝，所以直线ܤܥ的方程为：＝，即ܽ＝；ݕ由直线ܤ的方程和直线ܤܥ的方程联立，得，ܽݕݕܽ解得，即点ܤ；ܽݕܽ设点ܥ，则ݕ，ݕ，解得ݕ，ݕ，所以点ܥ；又，则ܥ的直线方程为ݕ，化为一般形式是＝．17.（本小题共证明：∵＝ܤ，是ܤ的中点∴ܤ．又平面ܤ，．∵ܤ＝∴平面∴（2）以为原点，分别以ܤ，为，轴，如图建立坐标系，则ܤܥݕݕܤܥݕܤݕݕ设平面的一个法向量ݕ，则ݕ取ݕ以所ݕݕݕݕ设平面ܥܤ的一个法向量ݕ，则ݕ取＝，＝，＝，所以ݕݕݕcosݕ所以平面与平面ܤܥ所成的锐二面角的余弦值．Ⅲ在棱ܥ上存在一点，设且ܥݕܥ，，ݕݕݕ，ݕ试卷第6页，总8页,若直线与平面所成的角为，则cosݕݕsinݕ解得：ݕ，所以符合条件的点存在，为棱ܥ的中点．四、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）18.或19.20.,21.22.23.[五、解答题（本大题共2小题，共26分）24.∵＝，∴＝，又∵曲线表示圆，∴，即；由（1）可知，又∵直线＝，∴圆心到直线的距离ݕݕ，∵直线截得的弦长为，∴ݕ，解得：ݕ；结论：存在实数ݕ，使得曲线与直线相交于，两点，且满足（其中为坐标原点）．理由如下：联立直线与曲线方程，消去整理得：＝，设，，则ݕ，ݕ，由可知ݕ，∴＝，＝，整理得：＝，即ݕ，解得：ݕ．试卷第7页，总8页,25.由题意，＝，即＝，由在椭圆上，ݕ，联立解得＝，＝，故椭圆的方程为ݕ；根据题意，左焦点，ݕ设直线为＝，由．ݕ消去，得ݕ，设，ܤ，则ݕݕ，所以ݕݕݕ，得ݕ；当直线与轴重合时，设，ܤ，所以ݕ，ݕ，得＝，ܤܤ同理，ܤ，＝，当直线不与轴重合时，设＝，ݕݕ，消去整理可得＝，ݕ设，ܤ，则ݕ，ݕ，由ݕݕ得，ݕ，ܤܤ整理得ݕݕ＝，综上，当ݕ时，＝．ܤܤ试卷第8页，总8页
