2018-2019学年北京市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.已知在等比数列an中，a3=1，a5=9，则a4=（ ）A.±3B.3C.±5D.52.下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（ ）A.x2-y24=1B.x24-y2=1C.x2-y22=1D.x22-y2=13.下列命题正确的是（ ）A.ac<bc⇒a<bb.ac2<bc2⇒a<bc.a<b⇒a2<b2d.a>b，c>d⇒ac>bd4.已知椭圆x225+y2m2=1 (m>0)的左焦点为F1(-4,0)，则m=（ ）A.9B.4C.3D.25.命题p:∀x∈R，x2+ax+a2≥0；命题q:∃x∈R，sinx+cosx=2，则下列命题中为真命题的是( )A.p∧qB.p∨qC.(￢p)∨qD.(￢p)∧(￢q)6.F1，F2分别是双曲线C：x29-y27=1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|=8，则△PF1F2的周长为（ ）A.15B.16C.17D.187.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则S7S4 等于( )A.74B.145C.7D.148.若双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3, -4)，则此双曲线的离心率为（）A.73B.54C.45D.539.数列{an}、{bn}满足bn=2an(n∈N*)，则“数列{an}是等差数列”是“数列{bn}是等比数列”的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也必要条件10.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A.3B.4C.5D.6试卷第5页，总5页, 11.设各项均为正数的数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn=2n2+n，则an+122n的最小值为（）A.7B.8C.43D.2312.设双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=3|PF2|，则此双曲线的离心率的取值范围为（ ）A.(1,2)B.(2,2]C.(1,2]D.[2,+∞)二、填空题)13.已知命题：p:∀x∈R，x2≥0，则¬p：________．14.等比数列an中，Sn为其前n项和，若Sn=2n+a，则实数a的值为________．15.函数y=1-2x-3x(x>0)的最大值________．16.若不等式-x2+2x-a≤0恒成立，则实数a的取值范围是________．17.已知A，B，P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上不同的三点，且A，B两点关于原点O对称，若直线PA，PB的斜率成绩kPA⋅kPB=-12，则该椭圆的离心率e=_________．18.曲绕C是平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=-1的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②若点在曲线C上，则|y|≤2；③若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4.其中，所有正确结论的序号是________.三、解答题)19.已知等比数列{an}中，a1=13，公比q=13．(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=1-an2；(2)设bn=log3a1+log3a2+...+log3an，求数列{bn}的通项公式．20.数列{an}的前n项和Sn=n2+2n．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{1anan+1}的前n项和Tn．21.解关于x的不等式：ax2-(a+2)x+2>0(a<2)．22.椭圆C焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（Ⅰ）求椭圆C的方程．试卷第5页，总5页, （Ⅱ）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|=λ(λ>34)，求点M的轨迹方程并指出是什么轨迹．23.已知等差数列{an}的通项公式an=3n-1(n∈N*)．设数列{bn}为等比数列，且bn=akn．(Ⅰ)若b1＝a1＝2，且等比数列{bn}的公比最小，(ⅰ)写出数列{bn}的前4项；(ⅱ)求数列{kn}的通项公式；(Ⅱ)证明：以b1＝a2＝5为首项的无穷等比数列{bn}有无数多个．试卷第5页，总5页, 参考答案与试题解析2018-2019学年北京市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.A2.A3.B4.C5.B6.D7.C8.D9.C10.A11.A12.B二、填空题13.14.15.16.17.18.三、解答题19.(1)证明：∵数列{an}为等比数列，a1=13，q=13，∴an=13×(13)n-1=13n，Sn=13(1-13n)1-13=1-13n2.又∵1-an2=1-13n2=Sn，∴Sn=1-an2.(2)解：∵an=13n，∴bn=log3a1+log3a2+...+log3an=-log33+(-2log33)+...+(-nlog33)=-(1+2+...+n)=-n(n+1)2.∴数列{bn}的通项公式为：bn=-n(n+1)2.20.21.22.23.（1）观察数列{an}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．因为数列{an}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是52，最小公比是（4）(ⅰ)以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，1(28)(ⅱ)由(ⅰ)可知b1＝2，公比q＝4，所以bn=2⋅4n-1．又bn=akn=3kn-1，所以3kn-1=2⋅4n-1,n∈N*，即kn=13(2⋅4n-1+1),n∈N*．再证kn为正整数．显然k1＝1为正整数，n≥2时，kn-kn-1=13(2⋅4n-1-2⋅4n-2)=13⋅2⋅4n-2(4-1)=2⋅4n-2，即kn=kn-1+2⋅4n-2(n≥2)试卷第5页，总5页, ，故kn=13(2⋅4n-1+1),n∈N*为正整数．所以，所求通项公式为kn=13(2⋅4n-1+1),n∈N*；（2）证明：设数列{cn}是数列{an}中包含的一个无穷等比数列，且c1=ak1=5，c2=ak2=3k2-1，所以公比q=3k2-15．因为等比数列{cn}各项为整数，所以q为整数．取k2＝5m+2(m∈N*)，则q＝3m+1，故cn=5⋅(3m+1)n-1．只要证cn=5⋅(3m+1)n-1是数列{an}的项，即证3kn-1＝5⋅(3m+1)n-1．只要证kn=13[5(3m+1)n-1+1](n∈N*)为正整数，显然k1＝2为正整数．又n≥2时，kn-kn-1=53[(3m+1)n-1-(3m+1)n-2]=5m(3m+1)n-2，即kn=kn-1+5m(3m+1)n-2，又因为k1＝2，5m(3m+1)n-2都是正整数，故n≥2时，kn也都是正整数．所以数列{cn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，其公比q＝3m+1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列{an}所包含的以a2＝5为首项的不同无穷等比数列有无数多个．试卷第5页，总5页</bc⇒a<bb.ac2<bc2⇒a<bc.a<b⇒a2<b2d.a>
