综合拔高练三年模拟练应用实践1.(2020百校联盟八月尖子生联考,★★☆)已知向量a=(1,0),b=(1,3),则与2a-b共线的单位向量为( )A.12,-32B.-12,32C.32,-12或-32,12D.12,-32或-12,322.(★★☆)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾依次相接能构成四边形,则向量d为( )A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)3.(2020安徽蚌埠二中高三月考,★★☆)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(3,-2m),b=(1,m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是( )A.65,+∞B.-∞,65∪65,+∞C.(-∞,2)D.(-∞,-2)∪(-2,+∞)4.(2020天津静海第一中学高一下期中,★★☆)已知向量a=(3,2),b=(2,-1),若ma+nb(m,n∈R)与a+2b共线,则mn等于 . 5.(★★☆)如图所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则m+n的取值范围是 . 6.(★★☆)如图所示,在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E在边AC上且AE=2EC,BE交AD于点G,求AGGD及BGGE的值.5
7.(2020山东济南高一期中,★★☆)如图,平行四边形ABCD中,点E在线段AD上,BE与AC交于点F,设AB=a,AD=b,用向量的方法探究:在线段AD上是否存在点E,使得点F恰好为BE的一个三等分点,若存在,求出满足条件的所有点E的位置;若不存在,说明理由.8.(2020山西临汾一中高一期中,★★☆)已知A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.(1)若O为坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值;(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.迁移创新9.(★★★)由射线OA和射线OB及线段AB构成的阴影区域如图所示(只含线段AB,不含其他边界).5
(1)若D为AB的中点,则OD= (用OA,OB表示); (2)已知下列四个向量:①OM1=OA+2OB;②OM2=34OA+13OB;③OM3=12OA+13OB;④OM4=34OA+15OB.对于点M1,M2,M3,M4,其中落在阴影区域内(只含线段AB,不含其他边界)的点为 (把所有符合条件的点都填上). 答案全解全析三年模拟练应用实践1.D 因为a=(1,0),b=(1,3),所以2a-b=(1,-3).设与2a-b共线的单位向量为(x,y),则-3x-y=0,x2+y2=1,解得x=12,y=-32或x=-12,y=32,所以与2a-b共线的单位向量为12,-32或-12,32.故选D.2.D ∵四条有向线段首尾依次相接能构成四边形,∴对应向量之和为零向量,即4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,∴d=-6a-4b+4c=-6(1,-3)-4(-2,4)+4(-1,-2)=(-2,-6).经验证,相邻两向量均不共线,故d=(-2,-6)满足题意.3.B ∵平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb,∴{a,b}是平面上向量的一组基底,∴a,b不共线,即3(m-2)≠-2m,解得m≠65.故m的取值范围是-∞,65∪65,+∞.故选B.4.答案 12解析 ∵a=(3,2),b=(2,-1),∴ma+nb=(3m+2n,2m-n),a+2b=(7,0).∵ma+nb与a+2b共线,∴7(2m-n)=0,5
易知n≠0,∴mn=12.5.答案 (-1,0)解析 由D是圆O外一点,可设BD=λBA(λ>1),则OD=OB+λBA=λOA+(1-λ)OB.因为C,O,D三点共线,所以可令OD=-μOC(μ>1),则OC=-λμOA-1-λμOB(λ>1,μ>1),所以m=-λμ,n=-1-λμ,则m+n=-λμ-1-λμ=-1μ∈(-1,0).6.解析 设AGGD=λ,BGGE=μ(λ>0,μ>0).∵AD为BC边上的中线,∴AD=12(AB+AC).又∵AG=λGD=λ(AD-AG),∴AG=λ1+λAD=λ2(1+λ)AB+λ2(1+λ)AC.又∵BG=μGE,即AG-AB=μ(AE-AG),∴(1+μ)AG=AB+μAE,即AG=11+μAB+μ1+μAE.又∵AE=23AC,∴AG=11+μAB+2μ3(1+μ)AC.∵AB,AC不共线,∴λ2(1+λ)=11+μ,λ2(1+λ)=2μ3(1+μ),解得λ=4,μ=32.∴AGGD=4,BGGE=32.7.解析 存在.设AE=λAD=λb(0≤λ≤1).若F恰为BE的一个三等分点,则BF=23BE=23·(BA+AE)=23(-a+λb),则AF=AB+BF=13a+23λb,又AC=a+b,且AC与AF是共线向量,∴设AF=μAC0≤μ≤12,∴13a+23λb=μ(a+b),∵a,b是不共线的向量,∴13=μ,23λ=μ,解得λ=12,μ=13,此时满足0≤λ≤1,0≤μ≤12,故满足条件的点E是存在的,它是线段AD的中点.8.解析 (1)因为四边形OACB是平行四边形,所以OA=BC,即(a,0)=(2,2-b),5
也就是a=2,2-b=0,解得a=2,b=2.(2)由A,B,C三点共线,可知AB∥BC,又AB=(-a,b),BC=(2,2-b),所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab.因为a>0,b>0,所以2(a+b)=ab≤a+b22,即(a+b)2-8(a+b)≥0,解得a+b≥8或a+b≤0.因为a>0,b>0,所以a+b≥8,当且仅当a=b=4时,“=”成立,所以a+b的最小值是8.迁移创新9.答案 (1)12(OA+OB) (2)M1,M2解析 (1)若D为AB的中点,则由向量的加法法则可得OD=12(OA+OB).(2)设M在阴影区域内,则射线OM与线段AB有公共点,记为N,则存在实数t∈[0,1],使得ON=tOA+(1-t)OB,且存在实数r≥1,使得OM=rON,从而OM=rtOA+r(1-t)·OB,且rt+r(1-t)=r≥1.又0≤t≤1,所以r(1-t)≥0.对于①,rt=1,r(1-t)=2,解得r=3,t=13,既满足r≥1,也满足r(1-t)≥0,故①满足条件.对于②,rt=34,r(1-t)=13,解得r=1312,t=913,既满足r≥1,也满足r(1-t)≥0,故②满足条件.对于③,rt=12,r(1-t)=13,解得r=56,t=35,不满足r≥1,故③不满足条件.对于④,rt=34,r(1-t)=15,解得r=1920,t=1519,不满足r≥1,故④不满足条件.故满足条件的点为M1,M2.5
