数乘向量向量的线性运算基础过关练题组一 数乘向量的概念1.若a=-12b,b≠0,则( )A.a和b方向相同,|a|=2|b|B.a和b方向相同,|b|=2|a|C.a和b方向相反,|a|=2|b|D.a和b方向相反,|b|=2|a|2.(2020山西大同一中5月考试)已知C是线段AB上靠近点B的三等分点,下列正确的是( )A.AB=3BCB.AC=2BCC.AC=12BCD.AC=2CB3.(2020湖北襄阳第五中学高一下月考)若两个非零向量a与(2x-1)a的方向相同,则x的取值范围为 . 4.已知a、b是两个非零向量,判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)-2a与a是共线向量,且-2a的模是a的模的2倍;(2)3a与5a的方向相同,且3a的模是5a的模的35;(3)-2a与2a是一对相反向量;(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量.10
题组二 向量的线性运算5.(2020山东济南历城第二中学高一下开学考试)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且AE=2EO,则ED=( )A.13AD-23ABB.23AD+13ABC.23AD-13ABD.13AD+23AB6.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的是( )①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.A.①④B.①②C.①③D.③④7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA-3OB+2OC=0,则|AB||BC|= . 8.(1)化简:14[2(2a+4b)-4(5a-2b)];(2)若向量a=3i+2j,b=2i-j,求13a-b-a-23b+(2b-a);(3)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.题组三 向量共线的条件及其应用9.下列向量中,a,b共线的有 (填序号). 10
①a=2e,b=-2e;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;③a=4e1-25e2,b=e1-110e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.10.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为 . 11.如图,已知在△ABC中,AC的中点为E,AB的中点为F,延长BE至点P,使EP=BE,延长CF至点Q,使FQ=CF.试用向量的方法证明P,A,Q三点共线.能力提升练一、单项选择题1.(2020黑龙江哈尔滨第三中学高一下线上测试,★★☆)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,F是BE的三等分点(靠近点E),若AF=xAB+yAC,则x+y=( )A.12B.23C.56D.12.(★★☆)在四边形ABCD中,若DC=25AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形是( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形3.(2020湖南长沙一中高三月考,★★☆)已知向量a,b不共线,且PQ=a+3b,QR=-4a+2b,RS=6a+4b,则共线的三点是( )A.P,Q,RB.P,R,SC.P,Q,SD.Q,R,S4.(★★☆)如图,AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=10
( )A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b二、多项选择题5.(★★☆)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是( )A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)D.已知梯形ABCD,其中AB=a,CD=b三、填空题6.(2020重庆万州外国语学校高一期中,★★★)如图,在△ABC中,BD=13BC,点E在线段AD上移动(不含端点),若AE=λAB+μAC,则λ2+1μ的取值范围是 . 7.(2020山西大同第一中学高一月考,★★★)已知O为△ABC内一点,OA+2OB+3OC=0,则S△ABCS△AOC= . 四、解答题8.(★★☆)已知向量a=12c,b=23c+a,求证:a∥b.10
9.(★★☆)化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);(2)16[2(2a+8b)-4(4a-2b)].10.(★★☆)在四边形ABCD中,向量AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,其中向量a,b不共线.求证:四边形ABCD是梯形.11.(疑难,★★☆)已知点O,A,M,B为平面上四点,且向量OM=λOB+(1-λ)OA(λ∈R,λ≠0且λ≠1).(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.10
答案全解全析基础过关练1.D ∵a=-12b(b≠0),∴a和b方向相反,|b|=2|a|,故选D.2.D 如图所示,由图可知,AB=3CB,AC=2CB.故选D.3.答案 12,+∞解析 由题意可知,2x-1>0,即x>12.4.解析 (1)正确.∵-2<0,∴-2a与a方向相反,两向量共线.又|-2a|=2|a|,∴(1)正确.(2)正确.∵3>0,∴3a与a方向相同,且|3a|=3|a|.∵5>0,∴5a与a方向相同,且|5a|=5|a|.∴3a与5a方向相同,且3a的模是5a的模的35.(3)正确.根据相反向量的定义可以判断.(4)错误.∵-(b-a)=-b+a=a-b,∴a-b与-(b-a)为相等向量.5.C ∵四边形ABCD是平行四边形,且AE=2EO,∴AE=23AO=13AC=13(AB+AD),∴ED=AD-AE=AD-13(AB+AD)=23AD-13AB.故选C.6.B ①和②属于数乘向量的分配律,命题均正确;③中,若m=0,则不能推出a=b,命题错误;④中,若a=0,则m,n的大小关系无法确定,命题错误.7.答案 210
解析 因为OA-3OB+2OC=0,所以OB-OA=2(OC-OB),所以AB=2BC,所以|AB||BC|=2.8.解析 (1)14[2(2a+4b)-4(5a-2b)]=14(4a+8b-20a+8b)=14(-16a+16b)=-4a+4b.(2)原式=13a-b-a+23b+2b-a=13-1-1a+-1+23+2b=-53a+53b=-53(3i+2j)+53(2i-j)=-5+103i+-103-53j=-53i-5j.(3)将3x-y=b两边同乘2得6x-2y=2b,其与5x+2y=a相加得11x=a+2b,即x=111a+211b,∴y=3x-b=3111a+211b-b=311a-511b.9.答案 ①②③解析 ①中,a=-b;②中,b=-2e1+2e2=-2(e1-e2)=-2a;③中,a=4e1-25e2=4e1-110e2=4b;④中,当e1,e2不共线时,对任意的λ∈R,a≠λb.故填①②③.10.答案 -1或3解析 因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线,所以存在实数λ使得ma-3b=λ[a+(2-m)b],即(m-λ)a+[-3-λ(2-m)]b=0.又因为向量a,b是两个不共线的向量,所以m-λ=0,-3-λ(2-m)=0,解得m=-1或m=3,故实数m的值为-1或3.11.证明 因为E是AC的中点,F是AB的中点,所以AE=EC,AF=FB.又因为BE=EP,CF=FQ,所以BE=EP,CF=FQ,所以AP=AE+EP=EC+BE=BC,QA=FA+QF=BF+FC=BC,所以AP=QA.又因为向量AP与QA有公共点A,10
所以P,A,Q三点共线.能力提升练一、单项选择题1.B 如图所示,AF=AB+BF=AB+23BE=AB+2312(BA+BD)=AB+13(BA+BD)=AB+13BA+12BC=AB+13BA+12(BA+AC)=AB+13BA+16(BA+AC)=12AB+16AC.∵AF=xAB+yAC,∴x=12,y=16,∴x+y=23.2.D 由DC=25AB可知四边形ABCD的一组对边平行且不相等,由|AD|=|BC|可知四边形ABCD另一组对边长度相等,所以该四边形ABCD是等腰梯形,故选D.3.C ∵PQ=a+3b,QR=-4a+2b,RS=6a+4b,∴QR+RS=2a+6b=2(a+3b)=2PQ,即QS=2PQ,又QS与PQ有公共点Q,∴P,Q,S三点共线,经检验选项A,B,D中对应的点均不符合题意.故选C.4.D 连接CD,OD,OC,如图所示.∵点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,∴AC=CD,∠AOC=60°,又AO=OC,∴△AOC为等边三角形,∴AC=AO.又AO=OD,∴AC=AO=OD=CD,∴四边形ACDO为菱形,∴AD=AO+AC=12AB+AC=12a+b.10
二、多项选择题5.AB 由2a-3b=-2(a+2b)得到b=-4a,故A可以;λa-μb=0,λa=μb,又λ≠μ,故B可以;若x=y=0,则xa+yb=0,但a与b不一定共线,故C不可以;梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行,故D不可以.三、填空题6.答案 103,+∞解析 由题可知,BD=13BC,设AE=mAD(0<m<1),则AE=mAB+13BC=mAB+13(BA+AC),所以AE=23mAB+13mAC,而AE=λAB+μAC,可得λ=23m,μ=13m,所以λ2+1μ=m3+3m(0<m<1),设f(x)=x3+3x(0<x<1),易得f(x)在(0,1)上单调递减,则f(x)>f(1)=13+3=103,所以λ2+1μ的取值范围是103,+∞.7.答案 3解析 如图所示,取BC的中点D,AC的中点E,连接OD,OE,则OA+2OB+3OC=(OA+OC)+2(OB+OC)=2OE+4OD=0,∴OE=-2OD,∴D,O,E三点共线,∴DE=32OE,又DE为△ABC的中位线,∴BA=2DE,∴BA=3OE.设在△ABC和△AOC中,AC边上的高分别为h1,h2,则h1=3h2,∴S△ABCS△AOC=3.四、解答题8.证明 ∵a=12c,∴c=2a,∵b=23c+a,10
∴b=23×2a+a=73a,∴a∥b.9.解析 (1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.(2)原式=16(4a+16b-16a+8b)=16(-12a+24b)=-2a+4b.10.证明 ∵AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2BC,∴AD∥BC且|AD|≠|BC|,∴四边形ABCD为梯形.11.解析 (1)证明:∵OM=λOB+(1-λ)OA,∴OM=λOB+OA-λOA,∴OM-OA=λOB-λOA,∴AM=λAB(λ∈R,λ≠0且λ≠1).又AM与AB有公共点A,∴A,B,M三点共线.(2)由(1)知AM=λAB,若点B在线段AM上,则AM与AB同向且|AM|>|AB|(如图所示),∴λ>1.故实数λ的取值范围为(1,+∞).10
