向量基本定理必备知识基础练1.在四边形OABC中,,若=a,=b,则=( ) A.a-bB.a-bC.b+aD.b-a答案D解析由,可得=b+a,所以=b+a-a=b-a,故选D.2.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为( )A.0B.-1C.-2D.-答案D解析令b=ma,因为向量a=2e1-e2,向量b=e1+λe2,所以e1+λe2=m(2e1-e2),解得λ=-,故选D.3.(多选题)(2020江苏海安高二月考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且=3,F为AE的中点,则( )A.=-B.C.=-D.答案ABC解析∵AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,∴=-=-,A正确;8
∵=3,∴=-,∴,又F为AE的中点,∴,B正确;=-=-,C正确;=-=-,D错误.4.已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则( )A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线答案B解析∵=2a+6b=2(a+3b)=2,即=2,∴A,B,D三点共线.故选B.5.如图,在△ABC中,设=a,=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若=ma+nb,则m+n=( )A.B.C.D.1答案C解析由题意可得=2=2.∵=a=+2,①=b,②∴由①②解方程求得a+b.又=ma+nb,∴m=,n=,m+n=.6.8
如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,F为DE的中点.若=m+n,则= . 答案解析)==.∵=m+n,∴m=,n=,∴.7.如图,在△ABC中,,P是线段BD上一点.若=m,则实数m的值为 . 答案解析设=λ,∵,∴,∴+λ+λ()=(1-λ).∵=m,∴解得8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1= ,λ2= . 答案-解析由题意知,D为AB的中点,,∴),∴,∴=-,∴λ1=-,λ2=.9.8
已知△OAB中,点D在线段OB上,且OD=2DB,延长BA到C,使BA=AC.设=a,=b.(1)用a,b表示向量;(2)若向量+k共线,求k的值.解(1)∵A为BC的中点,∴),∴=2=2a-b,∴=2a-b.(2)由(1)得+k=(2k+1)a-kb.∵+k共线,设=λ(+k),即2a-b=λ(2k+1)a+b,根据平面向量基本定理,得解得k=.关键能力提升练10.已知a,b为非零不共线向量,向量8a-kb与-ka+b共线,则k=( )A.2B.-2C.±2D.8答案C解析∵向量8a-kb与-ka+b共线,∴存在实数λ,使得8a-kb=λ(-ka+b),即8a-kb=-kλa+λb.又a,b为非零不共线向量,∴解得k=±2,故选C.11.已知正六边形ABCDEF中,G是AF的中点,则=( )A.B.C.D.8
答案C解析作出图形如右图所示,设直线AD,CF相交于点O,则点O为这两条线段的中点.由图形可知,=-,所以,=-=-2,①=2=-2-2,②,③联立②③,得解得代入①,得=-2=-2--,故选C.12.(多选题)如图①,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O,且三组对边分别平行,A,B是“六芒星”(如图②)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(内部以及边界).若=x+y,则x+y的取值可能是( )A.-6B.1C.5D.9答案BC解析如右图所示,设=a,=b,求x+y的最大值,只需考虑下图中以O为起点,6个顶点为终点向量即可,讨论如下:①∵=a,∴(x,y)=(1,0).②∵=b,∴(x,y)=(0,1).8
③∵=a+2b,∴(x,y)=(1,2).④∵=2=2a+3b,∴(x,y)=(2,3).⑤∵=a+b,∴(x,y)=(1,1).⑥∵=a+3b,∴(x,y)=(1,3).∴x+y的最大值为2+3=5.根据其对称性,可知x+y的最小值为-5,故x+y的取值范围是[-5,5],观察选项,选项B,C均符合题意.13.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则=( )A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b答案A解析设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=m.过点E作EH⊥AB于点H,则EH=m,EH∥AD,AH=m.所以AH=AB,HE=AD.所以a+b.故选A.8
14.如图,在△ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点.若=x=y,试问:是否为定值?解设=a,=b,则=xa,=yb,)=(a+b).所以(a+b)-xa=a+b,=yb-xa=-xa+yb.因为共线,且a,b不共线,所以有y=(-x),即x+y=xy,得=4,所以为定值.学科素养创新练15.如图所示,在▱ABCD中,AD,DC边的中点分别为E,F,连接BE,BF,与AC分别交于点R,T.求证:AR=RT=TC.证明设=a,=b,=r,=t,则=a+b.因为共线,所以存在实数n,使得r=n(a+b),n∈R.因为共线,所以存在实数m,使得=m,m∈R.而=a-b,则=m.因为,所以n(a+b)=b+m,即(n-m)a+b=0.因为向量a,b不共线,于是有解得m=n=,所以.同理.8
所以,故AR=RT=TC.8
