平面向量线性运算的应用必备知识基础练1.(多选题)若O是△ABC所在平面内一点,且满足||=|-2|,则△ABC的形状不可能是( ) A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案AD解析设点M为BC边的中点,由题意可得||=||,|-2|=|2-2|=2||,据此结合题意可知CB=2AM,由三角形的性质可知:△ABC的形状是直角三角形.故选AD.2.已知△ABC满足=k(其中k是非零常数),则△ABC的形状一定是( )A.正三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形答案C解析在△ABC中,=k(其中k是非零常数),∴=k(),∴+k=k,∴.又不共线,∴+k=k+=0,∴||=||,∴△ABC是等腰三角形.故选C.3.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10N,合力与F1的夹角为60°,则F2的大小为( )A.5NB.5N5
C.10ND.5N答案A解析由题意可知,对应向量如图,∵α=60°,∴F2的大小为|F合|sin60°=10×=5(N).故选A.4.河水从东向西流,流速为2km/h,一艘船以2km/h垂直于水流方向向北横渡,则船实际航行的速度的大小是 km/h. 答案4解析由题意,如图,表示水流速度,表示船在静水中的速度,则表示船的实际速度,则||=2,||=2,∠AOB=90°,∴||=4.5.△ABC所在平面上一点P满足=m(m>0,m为常数),若△ABP的面积为6,则△ABC的面积为 . 答案12解析取AC的中点O,∵=m(m>0,m为常数),∴m=2,∴点C到直线AB的距离等于点P到直线AB的距离的2倍,∴S△ABC=2S△ABP=12.6.在静水中划船速度的大小是每分钟40m,水流速度的大小是每分钟20m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,那么小船的行进方向应指向哪里?5
解如图所示,设向量的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以为邻边作平行四边形OACB,连接OC.依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,∴∠BOC=30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.关键能力提升练7.已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上共线的三个动点,若动点P满足+λ(),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心答案C解析由题意,得=λ(),即=λ(),根据平行四边形法则,知是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.8.已知等边△ABC的边长为4,P是△ABC内(包括边界)的一动点,且(λ∈R),则||的最大值为( )A.3B.C.2D.答案B解析以A为原点,以AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵△ABC是边长为4的等边三角形,∴A(0,0),B(4,0),C(2,2).设点P的坐标为(x,y),则0≤x≤4,0≤y≤2.∵,∴(x,y)=(4,0)+λ(2,2)=,5
∴消去λ可得y=(x-3),①∴点P在直线y=(x-3)上.又由条件得直线BC的方程为:y=-(x-4),②由①②解得此时||最大,且最大值为||=,故选B.9.如图,在长方形ABCD中,M,N分别为线段BC,CD的中点,若=λ1+λ2,λ1,λ2∈R,则λ1+λ2的值为 . 答案解析设AB=a,AD=b(a≠0,b≠0),以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示坐标系,则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),M,N,则,即=λ1+λ2,则解得λ1=-,λ2=,则λ1+λ2=.10.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ,则λ= ,μ= . 答案5
解析以D为原点,DC边所在直线为x轴,DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,则D(0,0),C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴=(-2,2),=(-2,1),=(1,2).∵=λ+μ,∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),∴解得11.在△ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且,AD与BE交于点R,证明:.证明由A,D,R三点共线,可得=λ+(1-λ)+(1-λ).由B、E、R三点共线,可得=μ+(1-μ)=μ(1-μ).∴,∴=.学科素养创新练12.如图所示,O,A,B三点不共线,=2=3,BC,AD交于点E,设=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)设线段AB,OE,CD的中点分别为L,M,N,试证明L,M,N三点共线.(1)解∵B,E,C三点共线,∴令=x+(1-x)=2xa+(1-x)b,①同理,∵A,E,D三点共线,可令=ya+3(1-y)b,②比较①②,得解得∴a+b.(2)证明∵)=,∴,∴=6,∴L,M,N三点共线.5
