3-2-1精品系列数学（理）2022版专题2022版高考数学3-2-1精品系列专题03数列理（教师版）03数列（1）数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.②了解数列是自变量为正整数的一类函数.（2）等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.考纲解读：数列难度降底，得分率提高，但要全对还得加大基本功训练；选择填空题重点考查等差（比）数列的性质；解答题中重点考查通项公式、求和；重视求和中的错位相减法、裂项相消求和等；递推数列不要研究太深，只掌握基本的就行。近几年考点分布数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2022年高考试题的研究，本专题在高考试题中占有较大比重，分值约占总分的12%，大多为一道选择题或填空题，一道解答题.试题注重基础，着重考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、数学归纳法及应用问题，选择题和填空题，突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题.【考点pk】名师考点透析考点一 等差、等比数列的概念与性质例1：已知为等比数列，且（1）若，求；（2）设数列的前项和为，求.119\n解：设，由题意，解之得，进而（1）由，解得（2）例2：设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足+15=0。（Ⅰ）若=5，求及a1；（Ⅱ）求d的取值范围。解(Ⅰ)由题意知S6==-3,=S6-S5=-8。所以解得a1=7，所以S6=-3,a1=7(Ⅱ)方法一：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤-2或d≥2.方法二：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.看成关于的一元二次方程，因为有根，所以，解得或。考点二求数列的通项与求和例3.已知数列满足（1）求（（2）设求证：；3）求数列的通项公式。119\n（2）由（1）：，有（3）由（2）：而，是以2为首项，2为公比的等比数列，，即，而，有：【名师点睛】：一般地，含有的递推关系式，一般利用化“和”为“项”。例4：在数列{}中，，并且对任意都有成立，令．（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．解：（1）当n=1时，,当时，由得所以所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为（2）119\n【名师点睛】：裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.考点三数列与不等式、函数等知识的联系例5：已知数列是等差数列，（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；（2）如果，试写出数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。（3）因为当且仅当时最大即【名师点睛】：解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．例6：已知数列的首项（是常数，且），119\n（），数列的首项，（）。（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；（3）当时，求数列的最小项.（提示：当时总有）解：（1）∵∴(n≥2)由得，，∵，∴，（3）由（1）知当时，，所以，显然最小项是前三项中的一项。当时，最小项为；当时，最小项为或；当时，最小项为；当时，最小项为或；当时，最小项为。【名师点睛】：、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.例7：已知数列中，.（1）写出的值（只写结果）并求出数列的通项公式；（2）设119\n，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。解：（1）∵∴…2分当时，，∴，∴当时，也满足上式，∴数列的通项公式为（2）令，则，当恒成立∴在上是增函数，故当时，即当时，要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即，∴∴实数的取值范围为另解：∴数列是单调递减数列，∴【名师点睛】：数列是一种特殊的函数，要注意其特殊性：(1)若用导数研究数列的单调性、最值等．要构造辅助函数，因为导数是对连续函数而定义的．(2)辅助函数的单调性与数列的单调性的联系与区别．例8：已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．（1）求数列119\n的通项公式．（2）若，求数列的前项和．（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.解：（1）点都在函数的图像上，,当时，当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为（2）由求导可得过点的切线的斜率为，..①由①×4，得②①-②得：（3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.又，,解得ｍ＝27.所以，设等差数列的公差为，则，所以的通项公式为【名师点睛】：一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，主要用错位相减法求数列的和.例9：甲、乙两容器中分别盛有浓度为，的某种溶液500ml，同时119\n从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和.记，【名师点睛】：数列在日常经济生活中广为应用，如增长率问题、银行存款利率问题、贷款问题等，都是与等比数列有关．另外，有些实际问题，可转化为数列问题，注意是求项还是求和，是解方程还是不等式问题．【三年高考】10、11、12高考试题及其解析2022年高考试题及解析一、选择题．（2022年高考（新课标理））已知为等比数列,,,则（ ）A．B．C．D．【解析】,或选．（2022年高考（浙江理））设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是A．若d<0,则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项,则d<0C．若数列{Sn}是递增数列,则对任意的nN*,均有Sn>0D．若对任意的nN*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列【解析】选项C显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,.满足数列{Sn}是递增数列,但是Sn>0不成立.．（2022年高考（重庆理））在等差数列中,,则的前5项和=119\n（ ）A．7B．15C．20D．25【解析】,,故.【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前项和公式,解题时要认真审题,仔细解答.．（2022年高考（四川理））设函数,是公差为的等差数列,,则（ ）A．B．C．D．[点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习.另外,隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力.．（2022年高考（上海理））设,.在中,正数的个数是（ ）A．25.B．50.C．75.D．100.【解析】对于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都为正数.xya2a12a13a…24a23a26a27a49a48a38a37a………当26≤k≤49时,令,则,画出ka终边如右,其终边两两关于x轴对称,即有,所以+++++0+++=+++++119\n+,其中k=26,27,,49,此时,所以,又,所以,从而当k=26,27,,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0.对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数.综上,可选D.[评注]本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键.．（2022年高考（辽宁理））在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（ ）A．58B．88C．143D．176【解析】在等差数列中,,答案为B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确.．（2022年高考（江西理））观察下列各式:a+b=1.a²+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,,则a10+b10=（ ）A．28B．76C．123D．199【解析】本题考查归纳推理的思想方法.观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,,发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,,故【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.．（2022年高考（湖北理））定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:①;②;③;④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）A．①②B．③④C．①③D．②④【解析】等比数列性质,,①;②;③;④.选C119\n．（2022年高考（福建理））等差数列中,,则数列的公差为（ ）A．1B．2C．3D．4【解析】,而,解得.【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力.．（2022年高考（大纲理））已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为（ ）A．B．C．D．【解析】由可得．（2022年高考（北京理））某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,的值为（ ）A．5B．7C．9D．11【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C.【考点定位】本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着的增大,变化超过平均值的加入,随着增大,变化不足平均值,故舍去.．（2022年高考（安徽理））公比为等比数列的各项都是正数,且,则（ ）A．B．C．D．【解析】选二、填空题．（2022年高考（新课标理））数列满足,则的前119\n项和为_______【解析】的前项和为可证明:．（2022年高考（浙江理））设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为{Sn}.若,,则q=______________.【解析】将,两个式子全部转化成用,q表示的式子.即,两式作差得:,即:,解之得:(舍去).．（2022年高考（上海春））已知等差数列的首项及公差均为正数,令当是数列的最大项时,____.【解析】．（2022年高考（辽宁理））已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式______________.．（2022年高考（江西理））设数列都是等差数列,若,则__________。【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想(解法一)因为数列都是等差数列,所以数列也是等差数列.故由等差中项的性质,得,即,解得.119\n(解法二)设数列的公差分别为,因为,所以.所以.【点评】对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解.体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式,前项和,等差中项的性质等.．（2022年高考（湖南理））设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,,xN依次放入编号为1,2,,N的N个位置,得到排列P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置;(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置.(2)方法同(1),归纳推理知x173位于P4中的第个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.．（2022年高考（湖北理））回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则(Ⅰ)4位回文数有__________个;(Ⅱ)位回文数有_________个.【解析】(Ⅰ)4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(1~9)种情况,第二位有10(0~9)种情况,所以4位回文数有种.答案:90(Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为.法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”,因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数,因此119\n,则答案为.．（2022年高考（广东理））(数列)已知递增的等差数列满足,,则______________.【解析】设公差为(),则有,解得,所以.．（2022年高考（福建理））数列的通项公式,前项和为,则___________.【解析】由,可得【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和．（2022年高考（北京理））已知为等差数列,为其前项和.若,,则________.【解析】,所以,.【考点定位】本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前项和公式的计算.三、解答题．（2022年高考（天津理））已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且=,,.(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式;(Ⅱ)记,,证明.【解析】【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前项和公式、数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力.119\n(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故（2）方法二：数学归纳法（1）当时，，故等式成立。【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原则.．（2022年高考（重庆理））(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)设数列的前项和满足,其中.(I)求证:是首项为1的等比数列;(II)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.【解析】(1)证明:由,得,即.因,故,得,119\n又由题设条件知,两式相减得,即,由,知,因此当时,上面不等式的等号成立.当时,与,()同为负;当时,与,()同为正;因此当且时,总有()()>0,即,().上面不等式对从1到求和得,由此得综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.．（2022年高考（四川理））已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.(Ⅰ)用和表示;(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由.119\n【解析】(1)由已知得,交点A的坐标为,对则抛物线在点A处的切线方程为(2)由(1)知f(n)=,则即知,对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到a≥当,>2n3+1当n=0,1,2时,显然故当a=时,对所有自然数都成立所以满足条件的a的最小值是.由0<a<1知0<ak<1(),因此,从而119\n[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.．（2022年高考（四川理））已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值.【解析】取n=1,得①取n=2,得②又②-①,得③若a2=0,由①知a1=0,若a2④由①④得:(2)当a1>0时,由(I)知,当,(2+)an-1=S2+Sn-1所以,an=所以令所以,数列{bn}是以为公差,且单调递减的等差数列.则b1>b2>b3>>b7=当n≥8时,bn≤b8=所以,n=7时,Tn取得最大值,且Tn的最大值为T7=[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查.第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.．（2022年高考（上海理））对于数集,其中,,定义向量集.若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P.例如具有性质P.(1)若x>2,且,求x的值;(2)若X具有性质P,求证:1ÎX,且当xn>1时,x1=1;(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.119\n【解析】(1)选取,Y中与垂直的元素必有形式所以x=2b,从而x=4(2)证明:取.设满足.由得,所以、异号.因为-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1,故1ÎX假设,其中,则.选取,并设满足,即,则、异号,从而、之中恰有一个为-1.若=-1,则,矛盾;若=-1,则,矛盾.所以x1=1(3)[解法一]猜测,i=1,2,,n记,k=2,3,,n.先证明:若具有性质P,则也具有性质P.任取,、Î.当、中出现-1时,显然有满足;当且时,、≥1.因为具有性质P,所以有,、Î,使得,从而和中有一个是-1,不妨设=-1.假设Î且Ï,则.由,得,与Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P现用数学归纳法证明:,i=1,2,,n.当n=2时,结论显然成立;假设n=k时,有性质P,则,i=1,2,,k;当n=k+1时,若有性质P,则也有性质P,所以.取,并设满足,即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.若,则,所以,这不可能;所以,,又,所以.119\n综上所述,,i=1,2,,n[解法二]设,,则等价于.记,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称注意到-1是X中的唯一负数,共有n-1个数,所以也只有n-1个数.由于,已有n-1个数,对以下三角数阵，注意到,所以,从而数列的通项公式为,k=1,2,,n．（2022年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列满足(1)设是公差为的等差数列.当时,求的值;(2)设求正整数使得一切均有(3)设当时,求数列的通项公式.【解析】(1),(2)由,由,即;由,即.(3)由,故,当时,以上各式相加得119\n当时,,．（2022年高考（陕西理））设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.(1)求数列的公比;(2)证明:对任意,成等差数列.【解析】(1)设数列的公比为()由成等差数列,得,即由得,解得(舍去)∴(2)证法一:对任意所以,对任意,成等差数列证法二对任意,因此,对任意,成等差数列.119\n．（2022年高考（山东理））在等差数列中,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项和.(Ⅱ)对任意m∈N﹡,,则,即,而,由题意可知,于是,即.．（2022年高考（江西理））已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,求an(2)求数列的前n项和Tn.【解析】(1)当时,取最大值,即,故,从而,又,所以(2)因为,所以【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注意不能用来求解首项,首项一般通过119\n来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等比数列.．（2022年高考（江苏））设集合,.记为同时满足下列条件的集合的个数:①;②若,则;③若,则.(1)求;(2)求的解析式(用表示).时,中奇数的个数是().∴.．（2022年高考（江苏））已知各项均为正数的两个数列和满足:,,(1)设,,求证:数列是等差数列;(2)设,,且是等比数列,求和的值.【解析】(1)∵,∴.∴.∴.∴数列是以1为公差的等差数列.(2)∵,∴.119\n∴.(﹡)设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明若则,∴当时,,与(﹡)矛盾.若则,∴当时,,与(﹡)矛盾.∴综上所述,.∴,∴.又∵,∴是公比是的等比数列.若,则,于是.又由即,得.∴中至少有两项相同,与矛盾.∴.∴.∴.．（2022年高考（湖南理））已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。(1)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式.(2)证明:数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.【解析】(1)对任意,三个数是等差数列,所以即亦即故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是(Ⅱ)(1)必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有由知,均大于0,于是119\n即==,所以三个数组成公比为的等比数列.(2)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,则,于是得即由有即,从而.因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.．（2022年高考（湖北理））已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.(Ⅰ)求等差数列的通项公式;(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得,或.故,或.(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.故记数列的前项和为.当时,;当时,;当时,119\n.当时,满足此式.综上,．（2022年高考（广东理））设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.(Ⅲ)因为,所以,所以,于是.点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题,该加强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为的等比数列,其前项和为,希望能得到,考虑到,所以令即可.由119\n的通项公式的形式可大胆尝试令,则,于是,此时只需证明就可以了.当然,的选取并不唯一,也可令,此时,,与选取不同的地方在于,当时,,当时,,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法.综上所述,命题获证.下面再给出的两个证法.法1:(数学归纳法)①当时,左边,右边,命题成立.②假设当(,)时成立,即成立.为了证明当时命题也成立,我们首先证明不等式:(,).要证,只需证,只需证,只需证,只需证,该式子明显成立,所以.于是当时,,所以命题在时也成立.119\n综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数,有.备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识.法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供)当时,显然成立.当时,显然成立.当时,,又因为,所以(),所以(),所以.综上所述,命题获证.．（2022年高考（大纲理））函数.定义数列如下:是过两点的直线与轴交点的横坐标.(1)证明:;(2)求数列的通项公式.【解析】(1)为,故点在函数的图像上,故由所给出的两点,可知,直线斜率一定存在.故有直线的直线方程为,令,可求得所以下面用数学归纳法证明当时,,满足假设时,成立,则当时,,由即119\n也成立综上可知对任意正整数恒成立.下面证明由由,故有即综上可知恒成立.(2)由得到该数列的一个特征方程即,解得或①②两式相除可得,而故数列是以为首项以为公比的等比数列,故.法二(先完成Ⅱ,用Ⅱ证Ⅰ):(Ⅱ)的方程为,令得(不动点法)令,得函数的不动点.上两式相除得.可见数列是等比数列,其中公比,首项为.即为所求.(Ⅰ)①由上知(当时).②又(当时).③易见,数列单调递减,所以数列单调递增,即.综合①②③得:.119\n【点评】以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式.既考查了直线方程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比较综合,有一定的难度.做这类试题那就是根据已知条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系式即可.．（2022年高考（北京理））设A是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记为所有这样的数表构成的集合.对于，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和；记为，，…，，，，…，中的最小值.（1）对如下数表A,求的值；11-0.80.1-0.3-1（2）设数表A=形如111-1求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的A∈S(2，),求的最大值。(3)的最大值为.首先构造满足的:,.经计算知,中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且,119\n,.下面证明是最大值.若不然,则存在一个数表,使得.由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于.设中有列的列和为正,有列的列和为负,由对称性不妨设,则.另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负.考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过).因此,故的第一行行和的绝对值小于,与假设矛盾.因此的最大值为.．（2022年高考（安徽理））数列满足:(I)证明:数列是单调递减数列的充分必要条件是(II)求的取值范围,使数列是单调递增数列.【解析】(I)必要条件当时,数列是单调递减数列充分条件数列是单调递减数列得:数列是单调递减数列的充分必要条件是(II)由(I)得:①当时,,不合题意②当时,当时,与同号,由119\n当时,存在,使与异号与数列是单调递减数列矛盾得:当时,数列是单调递增数列11年高考试题及解析一、选择题1、（重庆理11）在等差数列中，，则解析：74.，故2、（北京理11）.在等比数列中，若，，则公比_____；____.【解析】由是等比数列得，又所以，是以为首项，以2为公比的等比数列，。3、（天津理4）.已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和,,则的值为A．-110 B．-90 C．90 D．110【答案】D【解析】由题意知,,即,解得,所以=10=110.4、（江苏13）、设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________解析：考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。由题意：，，而的最小值分别为1，2，3；。5、（四川理8）.数列的首项为，为等差数列且.若则，，则()119\n（A）0（B）3（C）8（D）11解析：由已知知由叠加法.6、（广东理11）.等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则.7、（全国理4）设为等差数列的前项和，若，公差，，则（A）8（B）7（C）6（D）5【解析】故选D。8、（江西理5）.已知数列{}的前n项和满足：，且=1．那么=A．1B．9C.10D．55【解析】因为,所以令,可得;令,可得;同理可得,,,,=,故选A.二、填空题1、（湖南理12）.设是等差数列的前项和，且，，则.解析：因为，，所以，则.故填25评析：本小题主要考查等差数列的基本量计算问题.2、（陕西理13）、观察下列等式119\n照此规律，第个等式为【答案】【解析】：第个等式是首项为，公差1，项数为的等差数列，即3、（湖北理13）.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升答案：解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.4、（陕西理14）、植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）。【答案】2000【解析】：设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为=即时三、解答题1、（全国理20）.设数列满足且（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设【解析】：（Ⅰ）由得，前项为，119\n（Ⅱ）2、（浙江理19）.（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项(),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.[【解析】：（Ⅰ）则，（Ⅱ）因为，所以当时，即；所以当时，；当时，3、（江苏20）、（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立。119\n（1）设M=｛1｝，，求的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式。解析：考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题。（1）即：由（9）（10）得：成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：4、（四川理20）、(本小题共12分)设d为非零实数，an=[C1nd+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1dn-1+nCnndn](n∈N*).写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设bn=ndan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．解析：（1）因为d为常数，所以是以d为首项，d+1为公比的等比数列.（2），119\n①②②①5（辽宁理17）.（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列的前n项和.解析：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得故等差数列{an}的通项公式为an=2-n.（II）设数列的前n项和为，即故，所以，当n>1时，所以.综上，数列的前n项和为.6、（广东理20）、（本小题满分14分）设数列满足,求数列的通项公式；证明：对于一切正整数n,【解析】法一：119\n法二：119\n7、（山东理20）.（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.【解析】（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.（Ⅱ）因为当为偶数时，设，119\n；当为奇数时，设，；所以8、（陕西理19）（本小题满分12分）如图，从点做x轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：记点的坐标为.（Ⅰ）试求与的关系（ Ⅱ）求解（Ⅰ）设，由得点处切线方程为由得。（ Ⅱ），得，9、（湖北理19）.（本小题满分13分）已知数列的前n项和为，且满足：119\n(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论.本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.解析：（Ⅰ）由已知，可得，两式相减可得即又，所以当时，数列为：；当时，由已知，所以于是由，可得，成等比数列，当时，综上，数列的通项公式为（Ⅱ）对于任意的，且成等差数列，证明如下：当r=0时，由（Ⅰ）知，∴对于任意的，且成等差数列；当时，若存在，使得成等差数列，则，即，由（Ⅰ）知，的公比r+1=—2，于是对于任意的，且，从而，，即成等差数列.综上，对于任意的，且成等差数列.10、（北京理20）.若数列：，，…，满足（，2，…，），则称为E数列。记.（1）写出一个满足，且的E数列；（2）若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是；（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。【解析】：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）119\n（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2022.充分性，由于a2000—a10001，a2000—a10001……a2—a11所以a2000—a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2022,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。（Ⅲ）令为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得11、（天津理20）.（本小题满分14分）已知数列与满足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：是等比数列；（Ⅲ）设证明：．【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.119\n本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.解：（I）由可得又将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由④式得从而所以对任意，对于n=1,不等式显然成立.12（安徽理18（本小题满分13分）在数1和100之间插入个实数，使得这119\n个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【命题意图】：本题考察等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知识，考察灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。【解析】：（Ⅰ）构成递增的等比数列，其中，，则①②①×②并利用等比数列性质得，，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又所以数列的前项和为【解题指导】：做数列题时应优先运用数列的相关性质，本题考察的是等比数列前n项积，自然想到等比数列性质：，倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的，这样处理就避免了对n奇偶性的讨论。第二问的数列求和应联想常规的方法：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法。而出现时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决。13、（江西理18）.（本小题满分12分）已知两个等比数列，满足.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.【解析】（1）设的公比为q，则119\n由成等比数列得即所以的通项公式为（2）设的公比为q，则由得由，故方程（*）有两个不同的实根由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得14、（重庆理21）（本小题满分12分。（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设实数数列的前n项和满足（Ⅰ）若成等比数列，求和（Ⅱ）求证：对有。解析：（I）由题意，由S2是等比中项知由解得（II）证法一：由题设条件有故从而对有①因，由①得要证，由①只要证即证119\n此式明显成立.因此最后证若不然又因矛盾.因此解得因此由，得因此15、（上海理22）、（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。⑴求；⑵求证：在数列中、但不在数列中的项恰为；⑶求数列的通项公式。解：⑴；119\n⑵①任意，设，则，即②假设（矛盾），∴∴在数列中、但不在数列中的项恰为。16、（湖南理22）.（本小题满分13分）已知函数求函数的零点个数，并说明理由；设数列满足证明：存在常数使得对于任意的都有解：由知，，而且，，则为的一个零点，且在内由零点，因此至少有两个零点.解法1记则当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，又因为，，则在内有零点.所以在上有且只有一个零点，记此零点为，则当时，当时，所以，当时，单调递减，而则在内无零点；当119\n时，单调递增，则在内至多只有一个零点，从而在上至多有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.解法2由，记则当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，从而在上至多有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.记的正零点为，即（1）当时，由得，而，因此.由此猜测：.下面用数学归纳法证明.①当时，显然成立，②假设当时，成立，则当时，由知因此，当时，成立故对任意的成立（2）当时，由知在上单调递增，则，即，从而，即.由此猜测：，下面用数学归纳法证明.①当时，显然成立，②假设当时，成立，则当时，由知因此，当时，成立故对任意的成立综上所述，存在常数使得对于任意的都有评析：本大题综合考查函数与导数、数列、不等式等数学知识和方法以及数学归纳法、放缩法等证明方法的灵活运用.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.2022年高考试题及解析一、选择题:1．（2022年高考山东卷理科9）设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的119\n（A）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件、（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得且，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件。【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。2．（2022年高考全国卷I理科4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=(A)(B)7(C)6(D)【答案】A【解析】由等比数列的性质知，10,所以,所以【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.3．（2022年高考福建卷理科3）设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于A.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。4．（2022年高考安徽卷理科10）设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、119\n【解析】.D【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.5.(2022年高考天津卷理科6)已知{}是首项为1的等比数列，是{}的前n项和，且。则数列的前5项和为（A）或5（B）或5（C）（D）【命题意图】本小考查等比数列的前n项和公式等基础知识，考查同学们分类讨论的数学思想以及计算能力。6．（2022年广东理4）已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若，且与2的等差中项为，则=A．35B.33C.31D.29【答案】C【解析】设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。由与2的等差中项为知，，即．∴，即．，即．7．（2022年高考四川卷理科8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则119\n（A）0（B）（C）1（D）2解析：由,且作差得an＋2＝2an＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1Þa2＝2a1故{an}是公比为2的等比数列Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1则答案：B8．（2022年高考陕西卷理科9）对于数列｛an｝，“an+1＞∣an∣（n=1，2…）”是“｛an｝为递增数列”的(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)必要条件(D)既不充分也不必要条件9．（2022年北京理2）在等比数列中，，公比.若，则m=（A）9（B）10（C）11（D）12【答案】C【解析】由得，又，所以，解得m=11，故选C。10．（2022年江西理5）等比数列中，，，函数，则A．B．C．D．【答案】C11．（2022年浙江3）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0,则S5/S2=（A）11（B）5（C）-8（D）-11【答案】D119\n12．（2022年高考辽宁卷理科6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1,,则（A）(B)(C)(D)【答案】B13．(2022年全国2理4）如果等差数列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】14(2022年高考重庆市理科1)在等比数列中，，则公比q的值为（A）2（B）3（C）4（D）8【答案】A解析：。二、填空题：1．（2022年福建理11）在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式.【解析】由题意知，解得，所以通项。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。2.(2022年湖南理15)若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则，【解析】因为，而，所以m=1,2,所以2.119\n所以＝1,＝4，＝9，＝16，猜想【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。3．（2022年高考江苏卷试题8）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。4．（2022年浙江14）设n≥ 2，n，（2x+）－（3x+）=a+ax2+…+axn,将∣a∣（0≤k≤n）的最小值记为，则=0，=－，=0，=－，…，…则=_______.【答案】5．（2022年浙江15）设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是。【答案】或6．（2022年高考辽宁卷理科16）已知数列满足则的最小值为__________.119\n三、解答题：1．（2022年山东理18）（本小题满分12分）已知等差数列满足：，，的前n项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n119\n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。2.(2022年天津理22)（本小题满分14分）在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为。(Ⅰ)若=2k，证明成等比数列（）；(Ⅱ)若对任意，成等比数列，其公比为.（i）设1.证明是等差数列；(ii)若，证明【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。【解析】（Ⅰ）证明：由题设，可得。所以==2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比数列。（Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成119\n（Ⅱ）证明：，，可得，从而=1.由（Ⅰ）有所以因此，以下分两种情况进行讨论：当n为偶数时，设n=2m()若m=1,则.若m≥2，则+所以(2)当n为奇数时，设n=2m+1（）所以从而···综合（1）（2）可知，对任意,,有证法二：（i）证明：由题设，可得所以119\n由可知。可得，所以是等差数列，公差为1。（ii）证明：因为所以。所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得=，故。从而。所以，由，可得。于是，由（i）可知以下同证法一。3.(2022年湖北理20）已知数列满足:,,；数列满足：=-（n≥1）.(Ⅰ)求数列，的通项公式;(Ⅱ)证明:数列中的任意三项不可能成等差数列.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力。（满分13分）解：（Ⅰ）由题意知，令则又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即故又，，故（Ⅱ）假设数列中的存在三项（119\n）按某种顺序成等差数列.，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只可能有成立。∴两边同乘，化简得由于，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不能成立，导致矛盾。故数列中的任意三项不可能成等差数列4.(2022年湖南理21)数列中，，是函数的极小值点（Ⅰ）当a=0时，求通项；（Ⅱ）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。解：易知=令，得，.（1）若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.故在时取得极小值.（2）若，仿（1）可得，在时取得极小值.（3）若，则，无极值.（Ⅰ）当a=0时，，则，由（1）知，.因，则由（1）知，.因为，则由（2）知，.又因为，则由（2）知，.由此猜测：当n≥3时，.下面用数学归纳法证明：当n≥3时，.事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立.119\n而要使，即对一切都成立，只需对一切都成立.记，则，，，….令，则<.因此，当x≥2时，，从而函数在上为单调递减.故当n≥2时，数列单调递减，即数列中最大的项为.于是当时，必有.这说明，当时，数列是等比数列.当时，可得，.而=，由（3）知无极值，不合题意.当时，可得，，，，…，数列不是等比数列.当时，可得，由（3）知无极值，不合题意.当时，可得，，，，…，数列不是等比数列.综上所述，存在a，使数列是等比数列，且a的取值范围为.5.（2022年安徽理20）（本小题满分12分）设数列中的每一项都不为0。证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有。本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力.119\n证：先证必要性.设数列的公差为.若，则所述结论显然成立.若，则再证充分性.证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切都成立.首先，在等式①两端同乘，即得，所以，，成等差数列，记公差为，则.假设，当时，观察如下二等式②③将②代入③，得，在该式两端同乘，得，将代入其中，整理后，得.由数学归纳当原理知，对一切都有，所以是公差为的等差数列.证法2：(直接证法)依题意有①②②-①得在上式两端同乘，得③同理可得④③-④得，即，所以为等差数列.119\n6.（2022年全国I理22）(本小题满分12分)已知数列中，.（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围.【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.（Ⅱ）用数学归纳法证明：当时.（ⅰ）当时，，命题成立；119\n7．（2022年四川理21）本小题满分12分）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6再令m＝3,n＝1可得a5＝2a3－a1＋8＝20…2分(2)当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8即bn＋1－bn＝8所以{bn}是公差为8的等差数列……5分(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2另由已知(令m＝1)可得an＝-(n－1)2.[那么an＋1－an＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n于是cn＝2nqn－1.当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.119\n两边同乘以q，可得qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.上述两式相减得(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nq2＝2·－2nqn＝2·所以Sn＝2·综上所述，Sn＝…………12分8．（2022年江苏19）（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。（2）（方法一），恒成立。又，，故，即的最大值为。（方法二）由及，得，。于是，对满足题设的，，有。所以119\n的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，所以满足条件的，从而。因此的最大值为。9.(2022年宁夏17）（本小题满分12分）设数列满足（1）求数列的通项公式；令，求数列的前n项和10．（2022年陕西理16）（本小题满分12分）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1，d＝0（舍去），故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.11（2022年江西理22）（本小题满分14分）证明以下命题：（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；2）存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.证明：（1）易知成等差数列，故也成等差数列，所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列．119\n（2）若成等差数列，则有，即①选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于因此令，可得…②易验证满足①，因此成等差数列，当时，有且因此为边可以构成三角形．其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：，据比例性质有：所以，由此可得，与假设矛盾，即任两个三角形与互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列．12．(2022年全国2理18）（本小题满分12分）已知数列的前项和．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：．本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生学生的思维能力和计算能力.解：（Ⅰ）119\n（Ⅱ）另解：（Ⅱ）证明：或用数学归纳法证明证明：当显然不等式成立.1）假设当n=k时，不等式成立，即:那么在n=k+1时，有是不等式成立.故由1）、2)可知原不等式对一切正整数均成立.13.(2022年重庆理21)(本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)在数列中，，其中实数．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若对一切有，求c的取值范围．【命题意图】本题主要考查数列的定义、数列通项公式、数学归纳法、不等式的解法以及方程和函数思想.本题的实质是：已知递推公式（，为常数）求通项公式.【解析】（Ⅰ）解法一：由，，，猜测.下用数学归纳法证明.当时，等式成立；假设当时，等式成立，即，则当119\n时，，综上，对任何都成立.，因，所以.解此不等式得：对一切，有或，其中，.易知，又由，知，因此由对一切成立得.又，易知单调递增，故对一切成立，因此由对一切成立得.从而的取值范围为.119\n解法二：由，得，因，所以对恒成立.所以要使对恒成立，只需即可.由解得或.结合或得或.综合以上三种情况，的取值范围为.14(2022年北京理20)已知集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为（Ⅰ）证明：，且;（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ)设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为.证明：≤.证明：（I）设，，119\n因为，，所以,从而又由题意知，，.当时，;当时，所以(II)设，，，，.记，由（I）可知，所以中1的个数为，的1的个数为。设是使成立的的个数，则由此可知，三个数不可能都是奇数，即,,三个数中至少有一个是偶数。（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=由于所以从而15、(2022年上海理20)(本题满分13分)已知数列的前项和为，且，（Ⅰ）证明：是等比数列；（Ⅱ）求数列119\n的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由.【解析】（1）由已知得，∴，当时，，，两式相减得，变形，得，又，故是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，，∴，解不等式Sn<Sn+1，得，，∴当n≥15时，数列单调递增；同理可得，当n≤15时，数列单调递减；故当n=15时，取得最小值．【点评】本题主要考查等比数列的定义、数列求和公式、不等式的解法以及方程和函数思想.本题的实质是：已知递推公式（，为常数）求通项公式.【两年模拟】2022年名校模拟题及其答案【山东省冠县武训高中2022届高三二次质检理】在等比数列中，，，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【山东省冠县武训高中2022届高三二次质检理】各项均不为零的等差数列中，则等于（）A.4018B.2022C.2D.0【答案】A【江西省2022届十所重点中学第二次联考】已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数，，等式恒成立.若数列{}满足，且=，则的值为（）A.4016B.4017C.4018D.4019119\n【答案】D【湖北省黄冈市黄州区一中2022届高三10月综合理】已知数列是以3为公差的等差数列，是其前n项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是。【安徽省望江县2022届高三第三次月考理】已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()A.B.C. D.【答案】D【河北省保定二中2022届高三第三次月考】数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（）A．B.C.或D.【答案】C【河北省保定二中2022届高三第三次月考】已知等比数列的公比为正数，且，，则。【答案】【湖北省部分重点中学2022届高三起点考试】等差数列中，若则，若数列的前n项和为，则通项公式。【答案】24，【2022湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试】已知为等差数列，为其前n项和，则使得达到最大值的n等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【湖北省部分重点中学2022届高三起点考试】等差数列中，则则119\n，若数列为等比数列，其前n项和，若对任意，点均在函数为常数）图象上，则r=.【江苏省南通市2022届高三第一次调研测试】数列中，，且（，），则这个数列的通项公式．【答案】【上海市南汇中学2022届高三第一次考试(月考)】在等差数列中，若公差，且成等比数列，则公比q=。【答案】3【上海市南汇中学2022届高三第一次考试(月考)】已知数列是以3为公差的等差数列，是其前n项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是。【答案】【四川省成都外国语学校2022届高三12月月考】已知等差数列的前项和为，若，则的值为（）A.10B.20C.25D.30【答案】D【江西省上饶县中学2022届高三上学期第三次半月考】设为等差数列的前项和，若，公差，，则（）A．8B．7C．6D．5【答案】D【江西省上饶县中学2022届高三上学期第三次半月考】已知数列的递推公式119\n，则；【答案】28【四川省江油中学高2022届高三第一次学月考试】设等差数列的前项和为，若则()A．7B．6C．5D．4【答案】B【四川省江油中学高2022届高三第一次学月考试】在等差数列中，已知，则数列的前9项和=【答案】-9解答题1、在公差不为0的等差数列中，，且依次成等差数列.（Ⅰ）求数列的公差；（Ⅱ）设为数列的前项和，求的最小值，并求出此时的值【试题出处】陕西省西安市八校2022届高三年级数学（理科）试题【解析】（Ⅰ）由依次成等差数列知即，整理得。因为，所以。从而，即数列的公差为2---------6分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知因为且，所以当或7时，有最小值。因此，的最小值为，此时的为6或7。法二：由（Ⅰ）可知数列的通项公式为，令，得。据数列单调递增可知：其前6项均为负项，第7项为0，从第8项开始均为正项，所以，，且均为最小值，最小值为，此时的为6或7.2、已知等比数列的前n项和为，且满足=+k，（1）求k的值及数列的通项公式；（2）若数列满足=，求数列的前n项和.【试题出处】山东省济南市2022届高三3月（二模）月考数学（理）试题119\n【解析】（1）当n≥2时由…………2分=3+k，所以k=，……………4分（2）由，可得,…………６分…７分………9分………10分……12分3、已知数列满足：.（I）求数列的通项公式；（II）设，求【试题出处】河北省唐山市2022届高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题【解析】（Ⅰ）＝(32－1)＝3，…1分当n≥2时，∵＝(＋＋…＋)－(＋＋…＋)＝(32n－1)－(32n－2－1)＝32n－1，…5分当n＝1，＝32n－1也成立，所以an＝．…6分（Ⅱ）bn＝log3＝－(2n－1)，…7分＝＝(－)，∴＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]…10分＝(1－)＝．…12分4、数列满足．（Ⅰ）求，；(Ⅱ)求证:；（Ⅲ）求证:119\n．【试题出处】北京市门头沟区2022届高三年级3月抽样测试数学（理工类）．……7分(Ⅲ)证明等价于证明，即（2）…8分当时，，，即时，（2）成立．设时，（2）成立，即．当时，由（1）知；…11分又由（1）及知均为整数，从而由有即，所以，即（2）对也成立．所以（2）对的正整数都成立，119\n即对的正整数都成立．……13分注：不同解法请教师参照评标酌情给分．5、设同时满足条件：①＞2；②＜M（n∈N*，M是与n无关的常数）的无穷数列{}叫“好数列”。已知数列{}的前n项和Sn满足：Sn＝（a为常数，且a≠0，a≠1）。（I）求数列｛｝的通项公式；（II）设＝＋1，若{}为等比数列，求a的值，并证明此时数列为“好数列”．【试题出处】安徽省马鞍山市2022届高三第二次教学质量检测数学理再将代入得成等比数列，所以成立………………………8分由于①……………………10分（或作差：因为，所以也成立)②，故存在；所以符合①②,故为“好数列”……………12分6、已知，数列的首项（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使的最小正整数n。119\n【试题出处】河南省2022年普通高中毕业班高考适应性测试数学试题（理）【解析】（Ⅰ），，.数列是以1为首项，4为公差的等差数列．………3分，则数列的通项公式为．……6分（Ⅱ）……①……②②①并化简得．…10分易见为的增函数，，即．满足此式的最小正整数…12分7、设数列的前项和为，已知，.（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）若对于一切，都有恒成立，求的取值范围.【试题出处】2022届上海市七校数学试题（理科）【解析】(1)又当时，当时，数列为以为首项，以3为公比的等比数列，所以数列的通项公式为：综上可知：数列的通项公式为：（2）由（1）知：当时，，即有：此时，对于一切，都有恒成立，所以符合题意当时，，于是有：119\n若使对于一切，都有恒成立，即使且而综上可知：的取值范围为:8、已知数列的首项的等比数列，其前项和中，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求证：【试题出处】2022年咸阳市高三第二次模拟考试数学（理）试题【解析】（Ⅰ）若，则不符合题意，∴，………2分当时，由得∴…………6分（Ⅱ）∵…………………………………………7分∴∴＝＝………10分，是递增数列．．…12分9、若对于正整数,表示的最大奇数因数，例如，.设（Ⅰ）求,的值；（Ⅱ）求，，的值；（Ⅲ）求数列的通项公式．.【试题出处】2022年北京市东城区高三一模理科数学【解析】（Ⅰ），．…2分119\n（Ⅱ）；；．…6分(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对，有．…………8分所以当时，……11分于是，．所以，．…13分又，满足上式，所以对，………14分10、各项为正数的数列的前n项和为，且满足：（1）求；119\n（2）由分段函数可以得到：；……7分当n≥3，时，，…12分11、已知函数（为常数，），且数列是首项为，公差为的等差数列.(1)若，当时，求数列的前项和；（2）设，如果中的每一项恒小于它后面的项，求的取值范围.【试题出处】广东省韶关市2022届高三第一次调研考试数学（理）试题(2)解：由(Ⅰ)知，，要使对一切成立，即对一切成立.……8分，对一切恒成立，只需，……10分单调递增，∴当时，.……12分∴，且，∴.……13分119\n综上所述，存在实数满足条件……14分12、各项均为正数的等比数列，a1=1，=16，单调增数列的前n项和为，，且（）．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）令（），求使得的所有n的值，并说明理由．(Ⅲ)证明中任意三项不可能构成等差数列．【试题出处】江苏省南通市2022届高三数学模拟试题【解析】（Ⅰ）∵=，=4，∵，∴q=2， ∴∴b3=＝8.∵+2 ①当n≥2时，+2②①-②得即∵∴=3，∴是公差为3的等差数列．当n＝1时，+2，解得=1或=2，当=1时，，此时=7，与矛盾；当时，此时此时=8=，∴． （Ⅱ）∵，∴＝，∴=2>1，=＞1，=2>1,>1，<1，下面证明当n≥5时，事实上，当n≥5时，＝＜0即，∵<1∴当n≥5时，，故满足条件的所有n的值为1，2，3，4．(Ⅲ)假设中存在三项p,q,r(p<q<r,p,q,R∈N*)使ap,aq,ar构成等差数列，∴2aq=ap+ar，即22q—1=2p—1+2r—1．∴2q—p+1=1+2r—p．因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．13、已知数列满足时，（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）试比较与的大小，并说明理由。【试题出处】安徽省合肥市2022年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）119\n【解析】（1）证明：当时，又数列是以为首项以为公比的等比数列数列是以为首项以为公比的等比数列数列的通项公式为：（2）由（1）知：当时当时当时当时综上：当；当；当时14、已知等差数列（N+）中,,,.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若将数列的项重新组合，得到新数列，具体方法如下:，，，，…,依此类推，第项由相应的中项的和组成，求数列的前项和.【试题出处】山东省青岛2022届高三教学质量检测（理科）【解析】（Ⅰ）由与解得:或（由于，舍去）设公差为，则,解得所以数列的通项公式为……4分（Ⅱ）由题意得:119\n…………6分而是首项为,公差为的等差数列的前项的和,所以所以………10分所以所以……………12分15、已知各项均为正整数的数列满足，且存在正整数,使得当时，求数列的前36项的和；求数列的通项；若数列满足，且其前n项积为，试问n为何值时，取得最大值？【试题出处】江苏省苏北四市（徐、淮、连、宿）高三3月联考试题（数学），又因为，所以不满足题意．……10分所以，，，，且，所以，119\n，，故．……………12分⑶又所以所以，所以都是以为公比的等比数列,为偶数时，有，从而，注意到，且，所以数列的前项积最大时的值为．16、将正整数2022表示成个正整数之和.记.（I）当时，取何值时有最大值.（II）当时，分别取何值时，取得最大值，并说明理由.（III）设对任意的1≤≤5且||≤2,当取何值时，S取得最小值，并说明理由.【试题出处】北京市密云县2022年高中模拟试卷及答案（理数）【解析】（I）根据均值不等式，当x1=x2=1006时，S有最大值10062.--------2分（II）当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值.------4分由x1+x2+x3+x4+x5=2022，取得最大值时，必有|xi-xj|≤1（1≤i<j≤5）.（*）事实上，假设（*）式不成立.不妨设x1-x2≥2，令x1'=x1-1，x2'=x2+1，x3'=x3，x4'=x4，x5'=x5.有x1'+x2'=x1+x2，119\n=x1x2+x1+x2x3+x4+x5+x3x4+x3x5+x4x5，同时S‘=x'1x'2+x'1+x'2x3+x4+x5+x3x4+x3x5+x4x5，S-S'=x1x2-x1'x2'<0这与S取得最大值矛盾.所以必须有|xi-xj|≤1（1≤i<j≤5）.---8分因此当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值.（III）由x1+x2+x3+x4+x5=2022且|xi-xj|≤2,只有①x1=401，x2=402，x3=x4=x5=403；②x1=x2=x3=402，x4=x5=403；③x1=x2=x3=x4=402，x5=404；三种情况-------11分而在②时，根据（2）知原式取得最大值；在①时，设t=402，=10t2+8t，在③时,设t=402，=10t2+8t.因此在①③时S取得最小值.----13分17、已知数列的前n项和为，满足，设.(1)求证：为等差数列；(2)若，求的值；(3)是否存在正实数k，使得对任意nÎN*都成立？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.【试题出处】2022年上海五校联合教学调研数学试卷(理科)【解析】(1)①，②，②-①，得Þ，Þ，∴为公差为2的等差数列.(2)由(1)，，在①中令n=1，得Þ，∴，∴，，==.(3)óó，令，==，又，∴，即，∴，故要使对任意nÎN*都成立，当且仅当，故.119\n18、设函数的图象是由函数的图象经下列两个步骤变换得到：（1）将函数的图象向右平移个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；（2）将函数的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）判断方程的实根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）设数列满足，试探究数列的单调性，并加以证明．【试题出处】2022年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学【解析】:(Ⅰ)…2分……3分,…4分.……5分(Ⅱ)方程有且只有一个实根.……6分理由如下：由(Ⅰ)知，令,因为,又因为,所以.所以在至少有一个根.……………7分又因为,所以函数在R上单调递减,所以函数在R上有且只有一个零点，即方程有且只有一个实根.…………9分(Ⅲ)因为又，因为，所以，所以．由此猜测,即数列是单调递增数列.………11分以下用数学归纳法证明:且时,成立.119\n(1)当时,,显然有成立.(2)假设时,命题成立，即．………12分则时,，因为，所以．又在上单调递增，，所以，所以，即，即时,命题成立.13分综合(1),(2)，且时,成立.故数列为单调递增数列.…14分19、已知数列{an}满足：a1＋＋＋…＋＝n2＋2n（其中常数λ＞0，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件；若不存在，说明理由；（3）设Sn为数列{an}的前n项和．若对任意n∈N*，都有(1－λ)Sn＋λan≥2λn恒成立，求实数λ的取值范围．（2）当λ＝4时，an＝(2n＋1)·4n－1．若存在ar，as，at成等比数列，则[(2r＋1)·4r－1][(2t＋1)·4t－1]＝(2s＋1)2·42s－2．整理得(2r＋1)(2t＋1)4r＋t－2s＝(2s＋1)2．……6分由奇偶性知r＋t－2s＝0．所以(2r＋1)(2t＋1)＝(r＋t＋1)2，即(r－t)2＝0．这与r≠t矛盾，故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列．…8分（3）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1．当λ＝1时，Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n．当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1，λSn＝3λ＋5λ2＋…＋(2n－1)λn－1＋(2n＋1)λn．(1－λ)Sn＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn－1)－(2n＋1)λn＝3＋2×－(2n＋1)λn．………10分要对任意n∈N*，都有(1－λ)Sn＋λan≥2λn恒成立，①当λ＝1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝an＝2n＋1≥2，结论显然成立；②当λ≠1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝3＋2×－(2n＋1)λn＋λan119\n＝3＋2×＝－．因此，对任意n∈N*，都有≥·λn恒成立．当0＜λ＜1时，只要≥λn对任意n∈N*恒成立．只要有≥λ即可，解得λ≤1或λ≥．因此，当0＜λ＜1时，结论成立．…14分当λ≥2时，≥·λn显然不可能对任意n∈N*恒成立．当1＜λ＜2时，只要≤λn对任意n∈N*恒成立．只要有≤λ即可，解得1≤λ≤．因此当1＜λ≤时，结论成立．综上可得，实数λ的取值范围为(0，]……16分20、直线相交于点.直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，…，点的横坐标构成数列（1）当时，求点的坐标并猜出点的坐标；（2）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（3）比较的大小.由在直线上，得所以即所以数列是首项为公比为的等比数列.由题设知从而…9分（3）由得点的坐标为（1，1）.119\n所以（i）当时，,而此时（ii）当时，.而此时……14分2022年名校模拟题及其答案2022年模拟试题1、（2022镇江高三期末）在等比数列中,若,则的值是4.2、（2022·泰安高三期末）等差数列{an}的前n项和Sn，若a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则S13等于(A)A.152B.154C.156D.1583、（2022北京朝阳区期末）已知数列的前n项和为，且,则等于(A)（A）4（B）2（C）1（D）-24、(2022东莞期末)等比数列中,,且依次成等差数列，则的前项和等于63．5、（2022佛山一检）在等差数列中，首项公差，若，则(A)A．B．C．D．6、（2022广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则126.7、（2022·湖北重点中学二联）已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则=。8、（2022巢湖一检）在等比数列中，，公比为q，前n项和为，若数列也是等比数列，则q等于(CA.2B.C.3D.9、（2022广东广雅中学期末）已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的119\n，总存在，使得成立，则(C)A．B．C．D．10、(2022湖北八校一联)已知等比数列的各项都为正数，且当则数列等于。11、（2022北京西城区期末）设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是(D)（A）（B）（C）（D）12、（2022哈尔滨期末）若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（D）A．B．C．D．13、（2022北京朝阳区期末）已知数列满足：，定义使为整数的数叫做企盼数，则区间内所有的企盼数的和为2026.14、(2022承德期末)下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为，则等于（C）A．B．C．D．115、(2022承德期末)数列的前100项的和等于.16、(2022东莞期末)设等差数列（）的前n项和为119\n，该数列是单调递增数列，若，则的取值范围是(A)A.B.C.D.17、（2022镇江高三期末）已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则.18、（2022·温州八校联考）数列满足，，记数列前n项的和为Sn，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（A）A．10B．9C．8D．719、（2022·温州八校联考）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有__100___个。20、（2022·温州十校高三期末）数列是等差数列，若，且，它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，（C）（A）（B）（C）（D）21、（2022·温州十校高三期末）设是等差数列，从中取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列有180个22、（2022福州期末）已知实数成等比数列，且函数时取到极大值，则等于（A）A．-1B．0C．1D．223、（2022哈尔滨期末）设是公比为的等比数列，其前项积为，并满足条件，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）使成立的最小自然数等于，其中正确的编号为（1）（3）（4）.24、（2022杭州质检）已知函数若数列满足119\n，且是递减数列，则实数a的取值范围是（C）A．B．C．D．25、（2022杭州质检）等比数列，，，…的第8项是．26、（2022杭州质检）设n为正整数，，计算得，，，，观察上述结果，可推测一般的结论为（nÎN*）．27、(2022湖北八校一联)有下列数组排成一排：如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：则此数列中的第2022项是（B）A．B．C．D．28、(2022·黄冈期末)已知数列中，是其前n项和，若=1，=2，且则_____6_____,=____4021___ 29、(2022·锦州期末)设数列满足，它的前项和为，则的最小为下列何值时S>1025(C)（A）9（B）10（C）11（D）1230、(2022·惠州三调)已知整数以按如下规律排成一列：、、、、，，，，，，……，则第个数对是（）A．B．C．D．_O_1_2_3_4_5_6_6_5_4_3_2_1【解析】C；根据题中规律，有为第项，为第2项，为第4项，…，为第项，因此第项为．119\n31、（2022·温州十校高三期末）我国的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.则的表达式为32、（2022·上海长宁区高三期末）如图，连结的各边中点得到一个新的，又的各边中点得到一个新的，如此无限继续下去，得到一系列三角形，，，，这一系列三角形趋向于一个点。已知，则点的坐标是（A ）Ａ、 Ｂ、 Ｃ、Ｄ、33、（2022·上海长宁区高三期末）无穷等比数列中，公比为，且所有项的和为，则的范围是___34、(2022·日照一调)（本小题满分12分）等比数列中，已知.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若分别为等差数列的第4项和第16项，试求数列的通项公式及前项和.35、（2022烟台一调）（本小题满分12分）设数列的前项和为，且bn=2-2Sn119\n；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20.（1）求数列的通项公式；（2）若(=1,2,3…)，为数列的前项和.求.，.36、（2022福州期末）数列是首项为2，公差为1的等差数列，其前项的和为（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；（Ⅱ）设，求数列的通项公式及前项和解：（Ⅰ）依题意：2分=4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知5分7分9分12分37、（2022佛山一检）设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求.119\n解：（Ⅰ）∵，，，由成等差数列得，，即，解得，故；（Ⅱ），法1：，①①得，，②①②得，，∴．法2：，设，记，则，∴，故．38、（2022杭州质检）设数列的前n项和为，且，其中p是不为零的常数．（1）证明：数列是等比数列；（2）当p=3时，若数列满足，，求数列的通项公式．（1）证：因为Sn=4an–p（nN*）,则Sn–1=4an–1–p（nN*，n2）,所以当n2时，，整理得．5分119\n由Sn=4an–p，令，得，解得．所以是首项为，公比为的等比数列．7分（2）：因为a1=1，则，由，得，9分当n2时，由累加得＝，当n=1时，上式也成立．39、(2022·南昌期末)（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列满足,且,其中.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.(3)令,记数列的前项积为,其中,试比较与9的大小,并加以证明.解:(1)因为,即………1分又,所以有,所以所以数列是公比为的等比数列……2分由得,解得故数列的通项公式为…………4分(2)=，所以，若成等比数列，则，即．……5分119\n由，可得，所以，…7分从而，又，且，所以，记，则，……12分所以：………13分即，所以，所以………14分40、（2022北京朝阳区期末）已知函数（，，为常数，）.（Ⅰ）若时，数列满足条件：点在函数的图象上，求的前项和；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，（），证明：；（Ⅲ）若时，是奇函数，，数列满足，，求证：.解：（Ⅰ）依条件有.因为点在函数的图象上，所以.因为，所以是首项是，公差为的等差数列.………1分119\n所以.即数列的前项和.…2分即.…5分（Ⅲ）依条件.因为为奇函数，所以.即.解得.所以.又，所以.故.……6分因为，所以.所以时，有（）.又，若，则.从而.这与矛盾.所以.…8分所以.所以.……10分所以119\n.………12分因为，，所以.所以.所以.…14分41、（2022北京丰台区期末）已知函数，数列中，，．当取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列1，3，，…；当时，得到常数列2,2,2，…；当时，得到有穷数列，0．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）设数列满足，．求证：不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列；（Ⅲ）如果当时，都有，求的取值范围．解：（Ⅰ）因为，且，所以．同理可得，即．…3分（Ⅱ）证明：假设为数列中的第项，即；则；；………；，即。故不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列．（Ⅲ）因为，且，所以．又因为当时，，即，所以当时，有．42、（2022北京西城区期末）已知数列，满足，其中.（Ⅰ）若，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，且119\n.（ⅰ）记，求证：数列为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求首项应满足的条件.解：（Ⅰ）当时，有…2分.3分又因为也满足上式，所以数列的通项为.4分（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的有，……5分所以，所以数列为等差数列.……7分（ⅱ）设，（其中为常数且），所以所以数列均为以7为公差的等差数列.……9分设，（其中，为中的一个常数），当时，对任意的有；……10分当时，…11分①若，则对任意的有，所以数列为单调减数列；②若，则对任意的有，所以数列为单调增数列；…12分综上：设集合，当时，数列中必有某数重复出现无数次.119\n当时，均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.………14分43、(2022东莞期末)已知数列（）的各项满足：,（，）．(1)判断数列是否成等比数列；（2）求数列的通项公式；(3)若数列为递增数列，求的取值范围.（2）由（1）可知当时，，．当时，，也符合上式，所以，数列的通项公式为．(3)．∵为递增数列，∴恒成立．①当为奇数时，有，即恒成立，119\n由得．②当为偶数时，有，即恒成立，由，得．故的取值范围是．44、(2022湖北八校一联)已知数列（I）李四同学欲求的通项公式，他想，如能找到一个函数（A、B、C是常数），把递推关系变成后，就容易求出的通项了，请问：他设想的的通项公式是什么？（II）记都成立，求实数p的取值范围。,7分由，得.设，则,当时，,（用数学归纳法证也行）119\n时，.容易验证,时,,,的取值范围为.13分45、（2022·湖北重点中学二联）（本小题满分13分）在数列（I）若是公比为β的等比数列，求α和β的值。（II）若，基于事实：如果d是a和b的公约数，那么d一定是a-b的约数。研讨是否存在正整数k和n，使得有大于1的公约数，如果存在求出k和n，如果不存在请说明理由。解：（I）是公比的的等比数列…………2分即又………………4分、是方程的两根或…………6分（II）假设存在正整数，使得与有大于1的公约数，则也是即的约数依题设，是的约数…………8分从而是与的公约数同理可得是的约数依次类推，是与的约数……10分，故于是，…12分又∵是的约数和的约数是即的约数从而是即1的约数，这与矛盾故不存在使与有大于1的公约数.46、(2022·惠州三调)（本题满分14分）,是方程的两根,数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且.(1)求数列,的通项公式;(2)记=,求数列的前项和.119\n解：(1)由.且得…2分,……4分在中,令得当时,T=,两式相减得,…6分.…8分(2),……9分,,……10分=2=,…13分……14分47、（2022·九江七校二月联考）（本小题满分12分）已知数列中，，，其前项和满足（，（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．解：(1）由已知，（，），…2分∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴……4分（2）∵，∴，要使恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴恒成立．………6分（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，∴……8分（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，119\n∴…10分即，又为非零整数，则．综上所述，存在，使得对任意，都有．…48、(2022·南昌期末)已知下面数列和递推关系：①数列{an}(an=n)有递推关系an+2=2an+1–an；②数列有递推关系：③数列有递推关系：请猜测出数列的一个类似的递推关系：______.49、（2022·三明三校二月联考）（本题满分13分）已知等差数列的首项，公差．且分别是等比数列的．（1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意自然数均有：成立．求的值。①－②： ∴∴∴50、（2022·上海长宁区高三期末）（本题满分18分，第（1）小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知点，，…，（为正整数）都在函数119\n的图像上，其中是以1为首项，2为公差的等差数列。（1）求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）设数列的前项的和，求；（3）设，当时，问的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；当时，。…….9分因此，。…….10分（3），，………….12分设，当最大时，则，……….14分解得，，。…….16分所以时取得最大值，因此的面积存在最大值。….18分51、（2022·泰安高三期末）（本小题满分12分）已知数列{an}和{bn}满足：a1=，an+1=an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中为实数，n为正整数.（Ⅰ）证明：对任意实数，数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）证明：当≠-18时，数列{bn}是等比数列.解：（Ⅰ）证明假设存在一个实数，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，…（2分）119\n即矛盾.所以对于任意，{an}不是等比数列.………（6分）(Ⅱ)证明因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3（n+1）+21］=(-1)n+1=-……（10分）又≠-18，所以b1=-(+18)≠0.…（11分）由上式知bn≠0，所以故当≠-18时，数列{bn}是以-(+18)为首项，-为公比的等比数列.…（12分）52、（2022苏北四市二调）（本小题满分16分）已知数列的前项和为，且满足，，其中常数．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的通项公式；（3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列的前m项的和?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，…4分∵，∴，∴∴，∴数列为等比数列．（2）由（1）知，∴…8分又∵，∴，∴，∴…10分（3）由（2）得，即，数列中，（含项）前的所有项的和是：119\n……12分当k=10时，其和是当k=11时，其和是又因为2022-1077=934=4672，是2的倍数…14分所以当时，，所以存在m=988使得…16分53、（2022镇江高三期末）已知公差大于零的等差数列的前项和，且满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若,是某等比数列的连续三项，求值；（3）是否存在常数，使得数列为等差数列，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.解：（1）为等差数列，∵，又，∴，是方程的两个根又公差，∴，∴，.∴∴∴.……5分（2）由,是某等比数列的连续三项，，即，解得.（3）由(1)知，,假设存在常数，使数列为等差数列，【法一】由，得,解得.,易知数列为等差数列.【法二】假设存在常数，使数列为等差数列，由等差数列通项公式可知，得恒成立，可得.,易知数列为等差数列.【说明】本题考查等差、等比数列的性质，等差数列的判定，方程思想、特殊与一般思想、待定系数法.【一年原创】原创试题及其解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）1、如果等差数列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35解：答案C2、设为等比数列的前项和，已知，，则公比（A）3（B）4（C）5（D）6119\n解：两式相减得，，.选B.3、已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（A）或5（B）或5（C）（D）4、已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=(A)(B)7(C)6(D)解：由等比数列的性质知，10,所以,所以5、已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若，且与2的等差中项为，则=A．35B.33C.31D.29解：设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。由与2的等差中项为知，，即．∴，即．，即．．答案C6、设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于119\nA．6B．7C．8D．9解：设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。7、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、8、等比数列中，，=4，函数，则（）A．B.C.D.解：考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。答案C9、如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个圆的面积之和，则A．B.C.D.解：依题意可知，图形中内切圆半径分别为即则面积依次为所以故C正确10、已知数列的首项，其前项的和为，且，则119\n（A）0（B）（C）1（D）2解析：由,且作差得an＋2＝2an＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1Þa2＝2a1故{an}是公比为2的等比数列Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1则答案：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上）11、在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式.解：由题意知，解得，所以通项。12、设为等差数列的前项和，若，则。解：,解得，13、在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是。15、若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则，119\n三、解答题（本大题6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16、记等差数列的前项和为，设，且成等比数列，求.解析设数列的公差为，依题设有即解得或故或17、设等差数列满足，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值。解：（1）由=a1+（n-1）d及a1=5，=-9得解得数列{}的通项公式为an=11-2n。(2)由(1)知=na1+d=10n-n2因为=-(n-5)2+25.所以n=5时，取得最大值。18、已知等差数列满足：，.的前n项和为.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.解（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有，解得，所以；==。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，119\n所以==，即数列的前n项和=。19、正实数数列中,,且成等差数列.(1)证明数列中有无穷多项为无理数；(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.解：（1）由已知有：，从而，方法一：取，则（）用反证法证明这些都是无理数.假设为有理数，则必为正整数，且，(2)要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有（）又必为偶数，所以（）满足即（）时，为整数；同理有（）也满足，即（）时，为整数；显然和（）是数列中的不同项；所以当119\n（）和（）时，为整数；由（）有，由（）有.设中满足的所有整数项的和为，则20、设,,…,,…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.(Ⅰ)证明：为等比数列；(Ⅱ)设，求数列的前项和.解：(Ⅰ)将直线的倾斜角记为，则有，.设的圆心为，则由题意知，得；同理.从∴.21、在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（Ⅰ）证明成等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）记119\n，证明.所以数列的通项公式为或写为，。（III）证明：由（II）可知，，以下分两种情况进行讨论：（1）当n为偶数时，设n=2m若，则，若，则.所以，从而（2）当n为奇数时，设。119\n所以，从而综合（1）和（2）可知，对任意有【考点预测】2022高考预测展望2022年高考，数列仍是重点考查内容之一，从2022年的高考题可见预见到2022年高考中数列题命题会有如下可能：1、等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有。2、数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点。。3、函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用。4、解答题的难度有逐年增大的趋势，还有一些新颖题型，如与导数和极限相结合等。复习建议1）数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决。如通项公式、前n项和公式等。2）运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算。3）分类讨论的思想在本章尤为突出。学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等。4）等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外。如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等。复习时，要及时总结归纳。5）深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键。6）解题要善于总结基本数学方法。如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果。7）数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用。【母题特供】母题一：金题引路：已知数列的前n项和为且，数列满足且．（１）求的通项公式；（２）求证：数列为等比数列;（３）求前n项和的最小值．119\n∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分(3)由(2)得，∴=，∴是递增数列………11分当n=1时,<0；当n=2时,<0；当n=3时,<0；当n=4时,>0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.且13分母题二：金题引路：已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且公比（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足是数列的前n项和，求证：当时不等式成立，即两边同乘以2得119\n这说明当n=k+1时也不等式成立。由①②知，当成立。因此，当成立。12分母题三：金题引路：正数数列{an}的前n项和为Sn，且2．（1）试求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<．解：（1）∵an>0，，∴，则当n≥2时，即，而an>0，∴又（2）母题四：金题引路：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?母题五：金题引路：已知函数f(x)定义在区间（－1，1）上，f()＝－1，且当x，y∈(－1，1)时，恒有f(x)－f(y)＝f()，又数列{an}满足a1＝，an+1＝，设bn＝119\n．⑴证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；⑵求f(an)的表达式；⑶是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有bn <成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．119
