考点3简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词【考纲要求】(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．【命题规律】考查简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词的题型一般以选择题或填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，难度一般不大．【典型高考试题变式】（一）含简单的逻辑联结词的命题的真假判断例1.【2022山东卷】已知命题p：；命题q：若，则.下列命题为真命题的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题，故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．【变式1】【改变例题的中命题】已知命题p：；命题q：若，则.下列命题为真命题的是()A.B.-11-\nC.D.【答案】B【变式2】【改变例题的中命题】已知命题p：；命题q：若，则.下列命题为真命题的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，所以命题为真；若，则.所以命题是真命题.所以为真，故选A.（二）根据命题为假命题求参数的可能取值例2.【2022北京卷】能够说明“设，，是任意实数．若，则”是假命题的一组整数，，的值依次为__________．【答案】，，（答案不唯一）【解析】相矛盾，所以验证是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．【变式1】【改变例题中的条件，题型换为选择题】设，，，则（）A.B．C．D．不确定【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，故选C．-11-\n【变式2】【把例题中的条件“”改为“”】能够说明“设，，是任意实数．若，则”是假命题的一组整数，，的值依次为__________．【答案】、、【解析】令，，，则，此时，所以”是假命题.（三）全称量词和存在量词例3.【2022浙江卷】命题“，使得”的否定形式是（）A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得【答案】D【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．【变式1】【交换例题的条件与结论】命题“，使得”的否定为.【答案】，使得【解析】的否定是，的否定是，的否定是．【变式2】【改变例题的条件】命题“”的否定是()A．B．C．D．【答案】B【解析】命题“”的否定是.（四）根据命题为真命题求参数的最值或范围例4.【2022山东卷】若“，”是真命题，则实数的最小值为.【答案】1-11-\n【名师点睛】本题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒成立问题等多个知识点，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，注意等价转化的思想的应用，此题属中档题.【变式1】【把例题中角的范围改变】若“，”是真命题，则实数的最大值为.【答案】【变式2】【把例题中的“真”改为“假”，结论改为求实数的取值范围】若“，”是假命题，则实数的取值范围为.【答案】【解析】若“，”是假命题，则实数小于函数在的最大值，因为函数在上为增函数，所以函数在上的最大值为1，所以，即实数的取值范围为.【数学思想】与简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词有关的问题常用到等价思想、分类讨论思想.【处理简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词问题注意点】（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．-11-\n（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．（4）注意命题的否定与否命题：“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．【典例试题演练】1.【2022山东潍坊联考】设命题，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为特称命题的否定是全称命题，且先将存在量词改成全称量词，然后否定结论，所以命题的否定是为，故选B.2.【2022宁夏中卫二模】下列命题中的假命题是（）A.，B.，使函数的图象关于轴对称C.函数的图象经过第四象限D.，使【答案】C【解析】对于A,B,由指数函数性质可知是真命题.对C,当x>0时,y=xa>0恒成立,从而图象不过第四象限,所以为假命题.对D,当α=2时,y=x2的图象关于y轴对称.故选C.3．【2022山西临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学联考】下边是高中数学常用逻辑用语的知识结构图，则（1）、（2）处依次为（）-11-\nA.命题及其关系、或B.命题的否定、或C.命题及其关系、并D.命题的否定、并【答案】A【解析】根据教材章节知识知，第一部分为命题及其关系，简单逻辑连接词是且、或、非，故选A.4.【2022安徽蚌埠质检】在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（）A.为真命题B.为真命题C.为真命题D.为真命题【答案】A【解析】因为命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题是“第一次射击没击中目标”，命题是“第二次射击没击中目标”，所以命题“两次射击至少有一次没有击中目标”是，故选A.5.【2022河北衡水中学押题卷】已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）-11-\nA.B.C.D.【答案】B【解析】命题：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故.6.【2022湖南张家界二模】命题“，且”的否定形式是（）A.，且B.，且C.，或D.，或【答案】D【解析】，与至少有一个成立，故选D.7.【2022山东枣庄期末】下列命题中的假命题是（）A．B．C.D．【答案】D8.【2022广东模拟】已知命题：；命题.则下列命题中的真命题为（）A．B．C.D．【答案】B-11-\n9.【2022中原名校豫南九校模拟】下列四个命题：：任意；：存在；：任意；：存在，.其中的真命题是（）A．B．B．C．D．【答案】D【解析】对于，为真命题；，为假命题；，为假命题；时，为真命题；选D.10.【2022四川凉山州检测】下列四个结论：①若，则恒成立；②命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；④命题“，”的否定是“，”．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】对于①，令，则，则函数在上单调递增，则当时，即恒成立，故①正确；对于②，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”正确；对于③，命题为真，则命题均为真，命题为真，反过来，当不能命题为真-11-\n时，则中至少有一个为真，不能推出命题为真，所以“命题为真”是“命题为真”的充分必要分条件，故③正确；对于④，由全称命题与特称命题的关系可知，命题“，”的否定是“，”，所以④正确.故选D．11.【2022广东汕头期末】命题“若，则”的否命题为．【答案】若，则【解析】命题的否命题即将原命题的条件与结论同时否定，所以该命题的否命题为“若，则”．12.【2022广东郴州质检】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】“”是假命题等价于，即，解之得，即实数的取值范围是.13.【2022四川资阳4月模拟】设命题：函数的定义域为R；命题：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数的取值范围是________．【答案】14.【2022宁夏石嘴山第三中学模拟】给出下列命题：①已知都是正数，且，则；②已知是的导函数，若，则一定成立；③命题“使得”的否定是真命题；④且是“”的充要条件；-11-\n⑤若实数,，则满足的概率为，其中正确的命题的序号是______________（把你认为正确的序号都填上）【答案】①③⑤15.【2022山东潍坊联考】已知，设，成立；，成立，如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围.【答案】或．【解析】若为真：对，恒成立，设，配方得，所以在上的最小值为，所以，解得，所以为真时：；若为真：，成立，所以成立.设，易知在上是增函数，所以的最大值为，所以，所以为真时，，因为”为真，“”为假，所以与一真一假，-11-\n当真假时，所以，当假真时，所以，综上所述，实数的取值范围是或.-11-
