高考理科数学最后一次模拟试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟。参考公式：样本数据的标准差：为样本平均数；柱体体积公式：，其中S为底面面积，h为高；锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高；球的表面积、体积公式：，其中R为球的半径。第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．在复平面内，复数对应的点与原点的距离是()A.B.C.D.2．已知全集，集合≤，，则（）A．B．C．D．3．()A．B．C．D．4．设变量的最小值为（）A.9B.4C.3D.25.已知等差数列（）A.420B.380C.210D.1406．已知双曲线则的值为（）A．－2B．－4C．2D．47．已知α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：11/11\n①a//α、b；②a⊥α、b；③a⊥α、b；④a//α、b且a与α的距离等于b与β的距离，其中是a⊥b的充分条件的有（）A．③B．①C．①④D．②③8.函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）A.yB.C.D.O1234x202205149．已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得的概率是（）A．B．C．D．10．已知函数，.规定：给定一个实数，赋值，若，则继续赋值，…，以此类推，若，则，否则停止赋值.如果得到，则称为赋值了次（）.已知赋值次后该过程停止，则的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共100分）本卷包括必考题和选考题两部分．第11题－第2０题为必考题，每个试题考生都必须作答；第21题为选考题，请考生根据要求选答．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．命题“,”的否定是__________________.12．摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，则不同的排法共有__________种.11/11\n13．展开式中的系数为（用数字作答）14.下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是．男生女生9876035 66 200163628（第14题）15．三位同学合作学习，对问题“已知不等式对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说：“可视为变量，为常量来分析”.乙说：“不等式两边同除以2，再作分析”.丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”.参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）OAxBy如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|=2,设.（Ⅰ）用表示点B的坐标及；（Ⅱ）若，求的值.11/11\n17．(本小题满分13分)如图，三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，已知点M是A1B1的中点.（1）求证：B1C∥平面AC1M；（2）设AC与平面AC1M的所成角为，求sin.18．(本小题满分13分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入8千万元，以后每年投入将比上年平均减少，本年度旅游收入为4千万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加.（Ⅰ）设第年（本年度为第一年）的投入为千万元，旅游业收入为千万元，写出，的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？19．（本小题满分13分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在轴上的截距为（≠0），交椭圆于A、B两个不同点。（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）求证：直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形.11/11\n20．(本小题满分14分)已知x=0是函数的一个极值点，且函数的图象在处的切线的斜率为2.（Ⅰ）求函数的解析式并求单调区间.（Ⅱ）设，其中，问：对于任意的,方程在区间上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数.若不存在，请说明理由.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换设，求A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.（2）(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程已知点p(x,y)是圆上的动点.若≥0恒成立,求实数的取值范围.（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲已知点P是边长为的等边三角形内的一点，它到三边的距离分别为,求所满足的关系式，并计算的最小值.11/11\n2022年模拟试卷参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1．B．2．B．3．A．4．C．5．C．6．D．7．A．8．B．9．D．10．B．二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．．12．960．13.1.14．2．15．．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）由三角函数的定义，得点B的坐标为.-------------1分在中，|OB|=2，，由正弦定理，得，即，所以.--------------------------6分注：仅写出正弦定理，得3分.若用直线AB方程求得也得分.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，---------7分因为，所以，----------------------------9分又，-----------------11分所以.---------------------------13分11/11\n17．解：由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱，侧梭长为2，底面是等腰直角三角形，AC=BC=1.…………2分如图建立空间直角坐标系C—xyz，则C（0，0，0），C1（0，0，2），A（1，0，0），B1（0，1，2），A1（1，0，2）∵M为A1B1中点，…………………………4分（1）……………………6分∥面AC1M，又∵B1C面AC1M，∴B1C∥面AC1M.…………………………8分（2）设平面AC1M的一个法向量为…………………………………………………………10分则…………………………13分18．解：（Ⅰ）解，依题意每年投入构成首项为8千万元，公比为的等比数列，每年旅游业收入组成首项为4千万元，公比为的等比数列。………………………………3分所以，………………………………5分11/11\n（Ⅱ）解，经过年，总收投入………7分经过年，总收入……………9分设经过年，总收入超过总投入，由此，,化简得………………………………10分设代入上式整理得，解得，或（舍去）………………………………11分由，时，，，＝………12分因为在定义域上是减函数，所以答：至少经过5年旅游业的总收入超过总投入。……………………13分19．解：（1）设椭圆方程为………………………………1分则………………………………………………3分∴椭圆方程为…………………………………………………………4分（2）∵直线平行于OM，且在y轴上的截距为又KOM=……………………………………………………5分11/11\n由……………………………………6分∵直线与椭圆交于A、B两个不同点，（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可…………9分设……………………10分则由……………………………………………………10分而故直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形.……………………13分20.解：（I）…………1分由…………2分11/11\n又，故………4分令得或令得故：，单调增区间是，单调减区间是……………6分.（Ⅱ）解:假设方程在区间上存在实数根设是方程的实根，,令,从而问题转化为证明方程=0在上有实根,并讨论解的个数……………………8分因为,,所以①当时,,所以在上有解,且只有一解②当时,,但由于,所以在上有解,且有两解……………………………………10分③当时,,所以在上有且只有一解；当时,,所以在上也有且只有一解…………………………………12分综上所述,对于任意的,方程在区间上均有实数根且当时,有唯一的实数解；当时,有两个实数解……14分21.(1)解：(矩阵与变换)矩阵A的特征多项式为…………………………2分令，得矩阵A的特征值为……………………………3分对于特征值解相应的线性方程组得一个非零解，11/11\n因此，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。…………5分对于特征值解相应的线性方程组得一个非零解，因此，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。………………7分(2)解：（坐标系与参数方程）（本题满分7分）解:设圆的参数方程为，……………2分要使≥0恒成立,只须，即---1……………3分……………5分又∵∴.……………7分(3)解：（不等式选讲）（本题满分7分）由面积相等得：=，……………2分得。……………3分，……………5分即，当且仅当时取等号……………6分所以的最小值是3.……………7分11/11
