高考理科数学第三次模拟考试试卷理科数学命题：长沙市一中理科数学备课组一．选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内,复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.直线与圆的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.与k的取值有关学科网4.函数的图象如图，则的解析式可以为A.B.C.D.5.正四棱锥P－ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则此球的表面积为（）A.B.C.D.6．设斜率为的直线l与双曲线交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.科网7．已知函数的定义域为[a,b],值域为[0,1]，那么满足条件的有序对共有（）A.3对B.4对C.5对D.9对6.如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，那么实数的取值范围为（）A.B.或C.D.若10/10\n8.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2022个数是（）A.3948B.3953C.3955D.3958二．填空题（本大题共７小题，每小题5分，共35分）9.某小卖部，为了研究气温对冷饮销售的影响，经过一段时间的统计研究先一天冷饮卖出的杯数y与当天气温x℃近似地满足线性回归方程：.若天气预报明天的气温是30℃,则该小卖部明天大约能卖出冷饮___________杯．10.已知，则=_________.11.若椭圆的左焦点在抛物线的准线上，则p的值为_________．12.已知面积型几何概率的定义为：若随机运动的点可能运动的总范围面积为,该点落在某指定范围的面积为，则该点落在指定范围的概率.试用以上定义求解：如图,一只蚂蚁在边长分别为的三角形区域内随机爬行，则其恰好爬行到离三个顶点距离都大于1的区域内的概率为．13.已知，为原点，点的坐标满足，则的最大值是，此时点的坐标是.14.某种股票今天的股价是2元/股，以后每一天的指数都比上一天的股价增加0.2%，则100天以后这种基金的股价约是__________元/股（精确到0.01）.15.设函数的定义域分别为DJ,DE．且DJDE，若对于任意DJ,都有则称函数为在DE上的一个延拓函数.设为在上的一个延拓函数，且是奇函数，则=________________________；设,为在R上的一个延拓函数，且且是偶函数，则=________________________.10/10\n三．(解答题本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。（1）若上午某一时段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是、、，求这一时段A、B、C三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是，求在这一时段该办公室电脑使用的平均台数和无法满足需求的概率。17．(本小题满分12分)已知角α、β满足：5sinα＋5cosα＝8，且α∈(0，)，β∈(，)，求cos(α＋β)的值.10/10\n18．（本小题满分12分）如图，△ABC中，,,,DC=6,.(1)求证AB⊥DG；(2)求二面角G—MC—B的大小.19．（本小题满分13分）已知．⑴求函数在区间上的最小值；⑵对一切实数，恒成立，求实数a的取值范围；⑶证明对一切，恒成立．10/10\n20．（本小题满分13分）如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．lh20m05m3m（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高.）（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少.10/10\n21．（本小题满分13分）已知数列满足，（，），若数列是等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：当为奇数时，；（Ⅲ）求证：（）.10/10\n长沙市一中高三第三次模拟考试试卷理科数学答案题号12345678答案DACDBBCC9.52810.111.41213.，.14.2.44.15.三．(解答题本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．解：（1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A、B、C，因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是：……6分（2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，记有4位教师同时需要使用电脑的事件为M，有5位教师同时需要使用电脑的事件为N，……………………………………8分所以，所求的概率是：P=P（M）+P（N）=。…………11分,即平均使用台数为台。……………………12分17．解：∵5sinα＋5cosα＝8，∴sin(α＋)＝．………………3分∵α∈(0，)，∴α＋∈(，)，∴cos(α＋)＝．………………5分又∵，………………8分∵β∈(，)，∴β＋∈(，)，∴cos(β＋)＝－，………………10分∴sin[(α＋)＋(β＋)]＝sin(α＋)cos(β＋)＋cos(α＋)sin(β＋)＝－，∴cos(α＋β)＝－．………………12分18．解析(1)在△ABC中，,故△ABC为等腰直角三角形∵，∴AB⊥GC……①又∵,AB平面ABC∴AB⊥DC………②由①②及知AB面DGC,10/10\n∵DG面DGC,∴AB⊥DG……6分(2)延长CG交AB于点N∵∴N是AB的中点∵∴连接DN延长CM交DN于点C,由知,则E是DN的中点，连接BE，由AB面DGC,知故为二面角G—MC—B的平面角……9分在中，BN=6,EN=,∴∴二面角G—MC—B的大小是……12分19．解：⑴，当，，单调递减，当，，单调递增．………………………………………………………………1分①，t无解；………………………………………………2分②，即时，；………………………………3分③，即时，在上单调递增，；所以．………………………………………………………………5分⑵，则，设，则，，，单调递增，，，单调递减，所以，因为对一切，恒成立，所以；………………9分⑶问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．………………13分20．（1）解：如下图建立直角坐标系，则点P（10，2），10/10\nlh20m05m3mxyoP椭圆方程为+=1.将b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时l=2a=,因此隧道的拱宽约为m.………………5分（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭圆的面积最小即可．由椭圆方程+=1，得+=1.因为+≥，即ab≥40，………8分所以半椭圆面积S=≥.………………………………………10分当S取最小值时，有==，得a=10，b=.此时l=2a=20，h=b+3=+3………………………………………………12分故当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小……13分（3）根据题意设设……11分则令，，且时，∴时，取最小值，此时,代入椭圆方程得∴……………………………………13分21．【解】（Ⅰ）∵数列是等比数列10/10\n∴应为常数∴得或当时，可得为首项是，公比为的等比数列，则①当时，为首项是，公比为的等比数列，∴②①－②得，………4分（注：也可由①利用待定系数或同除得通项公式）（Ⅱ）当为奇数时，∴………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知为奇数时，………10分①当为偶数时，②当为奇数时，………13分10/10
