平面向量基本定理[A级 基础巩固]1．如图所示，向量a－b＝( )A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：选C 由题图可得a＝－3e2，b＝－e1，所以a－b＝e1－3e2.2．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )A．0，0B．1，1C．3，0D．3，4解析：选D ∵向量e1与e2不共线，∴解得故选D.3．在△ABC中，若＝(＋)，则下列关系式正确的是( )A．BD＝2CDB．BD＝CDC．BD＝3CDD．CD＝2BD解析：选B 由＝(＋)得2＝＋，即－＝－，即＝，所以||＝||，故BD＝CD.4．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为线段AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )A.B.C.D．1解析：选A ∵M为BC边上任意一点，∴可设＝x＋y，且x＋y＝1.∵N为线段AM的中点，∴＝＝x＋y＝λ＋μ.∴λ＋μ＝(x＋y)＝.6
5．(多选)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论，其中正确的结论为( )A.＝－a－bB.＝a＋bC.＝－a＋bD.＝a解析：选ABC 如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，A正确；＝＋＝a＋b，B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确；＝＝－a，D不正确．6．向量a在基底{e1，e2}下可表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________．解析：由条件，可知解得答案： －7.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________．解析：＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b＋b－a＝a＋b.答案：a＋b8．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________．解析：设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，得解得所以p＝－m＋n.6
答案：－m＋n9.如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试用＝e1，＝e2表示.解：＝－＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以＝＝(e1－e2)，所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：{a，b}可以作为一组基底；(2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线得，⇒所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.又e1与e2是不共线的非零向量，所以⇒故所求λ，μ的值分别为3和1.[B级 综合运用]11．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )A．2B．4C．5D．7解析：选B 根据题意不妨取如图所示的两个互相垂直的单位向量e1，e2，则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2.因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，所以解得6
所以＝4.12．如图，在△ABC中，D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为( )A.B．2C.D.解析：选D 由题图知x，y均为正数，设＝m＋n，＝λ＋μ.∵B，D，E，C四点共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1.∵＋＝x＋y＝(m＋λ)＋(n＋μ)，∴x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，∴＋＝(x＋y)＝×≥＝，则＋的最小值为.故选D.13.如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足＝2.若＝x＋y，则x2＋9y2的最小值为________．解析：根据题意，得＝＝x＋y.因为M，B，C三点共线，所以有x＋y＝1，即x＋y＝(0<y<)，所以x2＋9y2＝＋9y2＝10y2－y＋＝10＋，所以当y＝时，x2＋9y2取得最小值，为.答案：14．如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，且AE与CD交于点P，求△APC的面积．6
解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b.∵点A，P，E共线且D，P，C共线，∴存在λ和μ，使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.又＝＋＝a＋μb，∴即连接BP(图略)，则S△PAB＝S△ABC＝14×＝8，S△PBC＝14×＝2，∴S△APC＝14－8－2＝4.[C级 拓展探究]15.如图，在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近点O的一个三等分点，AD与BC交于点M.设＝a，＝b.(1)用a，b表示；(2)过点M的直线与边OA，OB分别交于点E，F.设＝pa，＝qb，求＋的值．解：(1)设＝xa＋yb，则＝－＝(x－1)＋y＝(x－1)a＋yb，＝－＝－a＋b，∵A，M，D三点共线，∴，共线，从而(x－1)＝－y.①又C，M，B三点共线，∴，共线，同理可得(y－1)＝－x.②联立①②，解得故＝a＋b.6
(2)∵＝－＝a＋b－pa＝a＋b，＝－＝qb－pa，且，共线，∴q＝－p，整理得＋＝5.6
