课时提升作业(二十八)数列的概念与简单表示法一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列说法正确的是 ( )A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列{}的第k项为1+D.数列0,2,4,6,…可记为{2n}【解析】选C.由数列的定义可知,数列与集合不同.选项A错,数列中的数与顺序有关,选项B错,D应为{2n-2},因为an==1+,所以ak=1+,故选C.2.数列,,,,…的一个通项公式是 ( )A.an=B.an=C.an=D.an=【解析】选D.因为7-3=11-7=15-11=4.即--1=4,所以=3+(n-1)×4=4n-1,所以an=.故选D.3.已知数列{an}的通项公式为an=log2(n2+7),则5是该数列的 ( )A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项【解析】选C.令log2(n2+7)=5,则n2+7=25=32,所以n2=25,由n∈N*得n=5.4.(2022·重庆模拟)已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是( )A.2n-1B.C.n2D.n-8-\n【解析】选D.因为an=n(an+1-an),所以=,所以an=×××…×××a1=×××…×××1=n.5.(2022·北京模拟)已知an=,把数列{an}的各项排列成如图的三角形形状.a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9………………………记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=( )A.B.C.D.【解析】选A.由题意知,前9行共有1+3+5+…+17==81个数,因此,第10行的第1个数是a82,第12个数是a93,又因为an=,所以A(10,12)=a93=.-8-\n【加固训练】(2022·盐城模拟)将正偶数按下表排成5列:第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826………………根据表中的规律,偶数2022应在第 行第 列.【解析】表中每一行4个数,因为都是偶数,所以2022÷2÷4=251余3,从表格可知奇数行从第2列开始,从小到大排列,偶数行从第一列开始,从大到小排列,所以可得其在第252行,第2列.答案:252 2二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列{an}满足an+2=an+1+an,若a1=1,a5=8,则a3= .【解析】由an+2=an+1+an,得an+3=an+2+an+1=2an+1+an,即当n=2时a5=2a3+a2,当n=1时,a3=a2+a1,即a2=a3-a1,两式联立得a5=2a3+a2=2a3+a3-a1,因为a1=1,a5=8,所以8=3a3-1,即a3=3.答案:3【加固训练】已知数列{an}对于任意p,q∈N*,有ap+aq=ap+q,若a1=,则a36=( )A. B. C.1 D.4【解析】选D.因为ap+q=ap+aq,所以a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4=8a4+a4=18a2=36a1=4.7.在数列{an}中,若a1=,an=(n≥2,n∈N*),则a2022= .-8-\n【解析】因为a1=,an=(n≥2,n∈N*),所以a2=2,a3=-1,a4=.所以{an}是以3为周期的数列.所以a2022=a671×3+2=a2=2.答案:2【加固训练】(2022·黄冈模拟)已知数列{an},若a1=b(b>0),an+1=-(n∈N*),则能使an=b成立的n的值可能是 ( )A.14B.15C.16D.17【解析】选C.由已知得a1=b,a2=-=-,a3=-=-,a4=-=b,a5=-=-,a6=-=-,…,所以数列{an}的周期为3,再根据a1=a4=b,观察选项可知a16=b,故选C.8.(2022·郑州模拟)已知数列{an}的通项公式是an=则a3a4= .【解析】由已知得a3=2×3-5=1,a4=2×34-1=54,所以a3a4=1×54=54.答案:54三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022·大连模拟)数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),求数列{an}的通项公式.【解析】a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减得an=3n.当n=1时,符合上式.所以an=3n(n∈N*).10.若an=n2+λn+3(其中λ为实常数),n∈N*,且数列{an}为单调递增数列,求实数λ的取值范围.【解析】因为{an}为单调递增数列,所以an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)+3>n2+λn+3,化简为λ>-2n-1对一切n∈N*都成立,所以λ>-3.故实数λ的取值范围为(-3,+∞).-8-\n【方法技巧】数列的性质的理解(1)数列的单调性与实数区间上函数的单调性是不同的,区间上函数的单调性必须对区间内的实数满足单调性的定义,而数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可,如函数f(x)=2x2-5x的单调递增区间是[,+∞),而通项公式是an=2n2-5n的数列{an}对任意的正整数都满足单调递增的定义.(2)数列的周期性是指存在正整数k(常数),对任意正整数n,an+k=an,在给出递推关系的数列中可以通过计算数列的前几项的值,探究其周期性.(3)在由特殊得出一般结论的时候,一定要注意特殊中体现出来的一般规律,为了保证特殊化方法得出的结论具有一般意义,可以多计算数列中几项的值,加以验证.【加固训练】已知数列{an}的通项an=(n+1)(n∈N*).试问该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【解题提示】要想判断一个数列有无最大项,可以判断数列的单调性,如果数列的前n项是递增的,从n+1项开始是递减的,则an(an+1)即为数列的最大项,故我们可以判断数列{an+1-an}的表达式,然后进行分类讨论,给出最终的结论.【解析】因为an+1-an所以当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an;故a1<a2<a3<a9=a10>a11>a12>….所以数列{an}有最大项a9或a10,其值为10·,其项数为9或10.(20分钟 40分)1.(5分)(2022·哈尔滨模拟)数列{an}定义如下:a1=1,当n≥2时,an=-8-\n若an=,则n的值等于( )A.7B.8C.9D.10【解析】选C.因为a1=1,当n≥2时an=所以a2=1+a1=2,a3==,a4=1+a2=3,a5==,a6=1+a3=,a7==,a8=1+a4=4,a9==,又已知an=,所以n=9.2.(5分)(2022·郑州模拟)已知数列{an}的通项公式为an=n2-2λn(n∈N*),则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若数列{an}为递增数列,则有an+1-an>0,即2n+1>2λ对任意的n∈N*都成立,于是有3>2λ,λ<.由λ<1可得λ<,但反过来,由λ<不能得到λ<1,因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.3.(5分)(能力挑战题)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图所示.他们研究过图中的1,5,12,22,…,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数,若按此规律继续下去,第n个五角形数an= .【解析】观察图形,发现a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n≥2时,an=an-1-8-\n+3n-2,所以an-an-1=3n-2,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-2)+[3(n-1)-2]+…+(3×2-2)+1=n2-n.答案:n2-n【加固训练】在如图所示的数阵中,第9行的第2个数为 .1【解析】由图可知,每行的第二个数构成一个数列{an},a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,所以a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,…,an-an-1=2(n-1)-1=2n-3,以上等式两边同时相加得an-a2==n2-2n,故an=n2-2n+3(n≥2),所以a9=92-2×9+3=66.答案:664.(12分)数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值.(2)对于n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.【解析】(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因为n∈N*,所以n=2,3,所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.因为an=n2-5n+4=-,由二次函数性质,得当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.(2)由an+1>an知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,即得k>-3.【加固训练】已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.【解析】(1)由an=n2-n-30,得-8-\na1=12-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设an=60,则60=n2-n-30.解之得n=10或n=-9(舍去).所以60是此数列的第10项.(2)令an=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).所以a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).所以当n>6(n∈N*)时,an>0.令n2-n-30<0,解得0<n<6.所以当0<n<6(n∈N*)时,an<0.(3)Sn存在最小值,不存在最大值.由an=n2-n-30=-30,(n∈N*)知{an}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故Sn存在最小值S5=S6,不存在最大值.5.(13分)在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*).(1)写出它的前五项,并归纳出通项公式.(2)判断它的单调性.【解析】(1)a1=1,a2=,a3==,a4=,a5==,归纳得an=.(2)方法一:因为an+1-an=-=-<0,所以数列{an}是递减数列.方法二:因为函数f(x)=在x∈[1,+∞)上单调递减,所以数列{an}是递减数列.-8-
