第九篇解析几何第1讲直线方程和两直线的位置关系A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点( )．A.B.C.D.解析 原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点.答案 D2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )．A.B.C.D.解析 如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.答案 B3．(2022·泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )．A．x－2y＋4＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋5＝06\n解析 由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.答案 A4．(2022·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析 设所求直线的方程为＋＝1，∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴|a|·|b|＝1.②由①②可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解．故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．答案 x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝06．(2022·北碚二模)已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.解析 由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝.6\n答案 三、解答题(共25分)7．(12分)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.8．(13分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴＝3.解得λ＝2或λ＝.∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝.6B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)6\n一、选择题(每小题5分，共10分)1．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝( )．A．4B．6C.D.解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m＋n＝.答案 C2．(2022·长沙模拟)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )．A．3B．2C．3D．4解析 依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．解析 由题意得，＝≠，∴a＝－4且c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，由两平行线间的距离，得＝，解得c＝2或c＝－6，所以＝±1.答案 ±14．(2022·盐城检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，6\nb)在线段AB上，则ab的最大值为________．解析 直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.答案 三、解答题(共25分)5．(12分)已知直线l过点P(2,3)，且被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d.(1)求d的最小值；(2)当直线l与x轴平行，试求d的值．解 (1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P在两条平行直线l1，l2外．过P点作直线l，使l⊥l1，则l⊥l2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值．由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|＝＝3.(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.6．(13分)已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程．解 法一 因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等．由两平行直线间的距离公式得＝，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直线l2的方程为x－y－5＝0.法二 由题意知l1∥l2，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．在直线l1上取点M(0,3)，设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，6\n于是有解得即M′(4，－1)．把点M′(4，－1)代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0.6
