第7讲直线与圆锥曲线的位置关系A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·潍坊一模)直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于( )．A.B．2C.D．4解析 直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.答案 C2．(2022·綦江质检)设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )．A.B.C.D.解析 由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，F2，故|AF1|＝|BF2|＝，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角θ的正切值为，结合图形易得tanθ＝＝＝，故|CF1|＋|CF2|＝＝|F1F2|＝2c，整理并化简得b2＝(a2－c2)＝ac，即(1－e2)＝e，解得e＝.答案 C3．(2022·临沂二模)抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|的值等于( )．A．7B．3C．6D．5解析 点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F8\n(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7.答案 A4．(2022·宁波十校联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝( )．A．1＋2B．4－2C．5－2D．3＋2解析 如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故应选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆＋y2＝1的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________．解析 设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.∵A，B在椭圆上，∴＋y＝1，＋y＝1.两式相减得：＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即＝－，∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，∴＝－，即直线AB的斜率为－.∴直线AB的方程为y－＝－，即该弦所在直线的方程为2x＋4y－3＝0.答案 2x＋4y－3＝06．(2022·东北三省联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．8\n解析 由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.答案 ＋＝1三、解答题(共25分)7．(12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．(1)解 由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)证明 设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l必过一定点．8．(13分)给出双曲线x2－＝1.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．8\n解 (1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以直线斜率k＝＝4.故求得直线方程为4x－y－7＝0.(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，按照(1)的解法可得＝，①由于P1，P2，P，A四点共线，得＝，②由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y＝0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝0.(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.考虑到方程组无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的．8B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)8\n一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·皖南八校联考)已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是( )．A.B.C．2D.解析 法一 据题意画图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1.设直线l的倾斜角为θ，|AF|＝2|BF|＝2r，则|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r，所以有|AB|＝3r，|AD|＝r，则|BD|＝2r，k＝tanθ＝tan∠BAD＝＝2.法二 直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB.则yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2.又k>0，故k＝2.答案 C2．(2022·永川二模)过双曲线－＝1(a>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是( )．A．(，5)B．(，) C．(1，)D．(5,5)解析 令b＝，c＝，则双曲线的离心率为e＝，双曲线的渐近线的斜率为±.据题意，2<<3，如图所示．∵＝，∴2<<3，∴5<e2<10，∴<e<.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)8\n3．(2022·揭阳模拟)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．解析 由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝.答案 4．已知曲线－＝1(a·b≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且·＝0(O为原点)，则－的值为________．解析 将y＝1－x代入－＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2.答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)(2022·上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．(1)解 双曲线C1：－y2＝1，左顶点A，渐近线方程：y＝±x.不妨取过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.解方程组得所以所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.8\n(2)证明 设直线PQ的方程是y＝x＋b.因为直线PQ与已知圆相切，故＝1，即b2＝2.由得x2－2bx－b2－1＝0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)证明 当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx，则直线OM的方程为y＝－x.由得所以|ON|2＝.同理|OM|2＝.设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以＝＋＝＝3，即d＝.综上，O到直线MN的距离是定值．6．(13分)(2022·临沂二模)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|＝|DM|，点P在圆上运动．(1)求点M的轨迹方程；(2)过定点C(－1,0)的直线与点M的轨迹交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使·为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0＝x，y0＝y.∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4.∴x2＋2y2＝4，即＋＝1.8\n点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．(2)假设存在．当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，联立方程组整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝.∴·＝(x1－n，y1)·(x2－n，y2)＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2＝(1＋k2)×＋(k2－n)×＋k2＋n2＝＋n2＝＋n2＝(2n2＋4n－1)－.∵·是与k无关的常数，∴2n＋＝0.∴n＝－，即N，此时·＝－.当直线AB与x轴垂直时，若n＝－，则·＝－.综上所述，在x轴上存在定点N，使·为常数．8
