第六章 数 列第一讲 数列的概念与简单表示法练好题·考点自测1.给出下面四个结论:①数列{n+1n}的第k项为1+1k;②数列的项数是无限的;③数列的通项公式的表达式是唯一的;④数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}.其中说法正确的有( ) A.①②④B.①C.②③④D.①②③2.[2021十堰模拟]图6-1-1是谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形,在所给的四个三角形图案中,阴影小三角形的个数构成数列{an}的前4项,则{an}的通项公式可以是( )A.an=3n-1B.an=2n-1C.an=3nD.an=2n-13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-1,则a1+a3+a5+a7+a9=( )A.40B.44C.45D.494.已知数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,则a2021等于( )A.6B.-6C.3D.-35.[2020山东泰安4月模拟]在数列{an}中,a1=100,an+1=an+3n(n∈N*),则通项公式an= . 6.[2016浙江,13,6分][理]设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1= ,S5= . 7.[2021安徽省四校联考]已知数列{an}的首项a1=m,其前n项和为Sn,且满足Sn+Sn+1=2n2+3n,若数列{an}是递增数列,则实数m的取值范围是 . 拓展变式1.[2018全国卷Ⅰ,14,5分][理]记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= . 2.(1)[2020四川德阳二诊]已知数列{an}满足21·a1+22·a2+23·a3+…+2n·an=(n-1)·2n+1+2(n∈N*),则数列{an}的通项公式an= . (2)已知数列{an}中,a1=56,an+1=13an+(12)n+1,则an= . 第4页共4页\n3.(1)数列{an}的通项an=nn2+90,则数列{an}中的最大项是( )A.310B.19C.119D.1060(2)[2020海口4月检测]设数列{an}满足:a1=2,an+1=1+an1-an(n∈N*).则该数列前2019项的乘积a1a2a3a4…a2019= . 答案第一讲 数列的概念与简单表示法1.B 根据数列的表示方法可知,求数列的第k项就是将k代入通项公式,经验证知①正确;数列的项数可能是有限的,也可能是无限的,并且数列的通项公式的表达式不是唯一的,故②③不正确;集合中的元素具有无序性,而数列中每一个数的位置都是确定的,故④不正确.所以只有①正确,选B.2.A 题图中的阴影小三角形的个数构成数列{an}的前4项,分别为a1=1,a2=3,a3=3×3=32,a4=32×3=33,因此{an}的通项公式可以是an=3n-1.故选A.3.B 因为Sn=n2-1,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-1-(n-1)2+1=2n-1,又a1=S1=0,所以an=0,n=1,2n-1,n≥2,所以a1+a3+a5+a7+a9=0+5+9+13+17=44.故选B.4.B 依次写出数列的各项:3,6,3,-3,-6,-3,3,6,3,-3,….所以数列{an}以6为周期循环.又2021=6×336+5,故a2021=a5=-6.故选B.5.12·3n+1972,n∈N* 由an+1=an+3n(n∈N*)得,an+1-an=3n(n∈N*),分别令n=1,2,3,4,…,n-1(n≥2),得到(n-1)个等式:a2-a1=3,a3-a2=32,a4-a3=33,…,an-an-1=3n-1.将这(n-1)个等式累加可得an=a1+3+32+…+3n-1=100+3(1-3n-1)1-3=12·3n+1972(n≥2).显然a1=100适合上式,故通项公式an=12·3n+1972,n∈N*.6.1 121 由a1+a2=4,a2=2a1+1,解得a1=1,a2=3.由an+1=Sn+1-Sn=2Sn+1得Sn+1=3Sn+1,所以Sn+1+12=3(Sn+12),所以{Sn+12}是以32为首项,3为公比的等比数列,所以Sn+12=32×3n-1,即Sn=3n-12,所以S5=121.第4页共4页\n7.(14,54) 解法一 由Sn+Sn+1=2n2+3n可得,Sn-1+Sn=2(n-1)2+3(n-1)(n≥2),两式相减得,an+an+1=4n+1(n≥2),∴an-1+an=4n-3(n≥3),∴an+1-an-1=4(n≥3),∴数列a2,a4,a6,…是以4为公差的等差数列,数列a3,a5,a7,…是以4为公差的等差数列.将n=1代入Sn+Sn+1=2n2+3n可得a2=5-2m,将n=2代入an+an+1=4n+1(n≥2)可得a3=4+2m,∵a4=a2+4=9-2m,∴要使得任意n∈N*,an<an+1恒成立,只需要a1<a2<a3<a4即可.∴m<5-2m<4+2m<9-2m,解得14<m<54,∴实数m的取值范围是(14,54).解法二 当n=1时,2a1+a2=5,∵a1=m,∴a2=5-2m.当n≥2时,由Sn+Sn+1=2n2+3n ①,得Sn-1+Sn=2(n-1)2+3(n-1) ②.①-②得,an+an+1=4n+1(n≥2) ③,∴an-1+an=4n-3(n≥3) ④.③-④得,an+1-an-1=4(n≥3),∴数列{an}的偶数项成等差数列,奇数项从第三项起是等差数列,且公差都是4.易知a3=4+2m,∴a2k=a2+4(k-1)=5-2m+4k-4=4k-2m+1,a2k+1=a3+4(k-1)=4+2m+4(k-1)=4k+2m.若对任意n∈N*,an<an+1恒成立,则当n=1时,由a1<a2,解得m<53;当n=2k+1时,由a2k+1<a2k+2,即4k+2m<4k-2m+5,解得m<54;当n=2k时,由a2k<a2k+1,即4k-2m+1<4k+2m,解得m>14.∴实数m的取值范围是(14,54).1.-63 解法一 因为Sn=2an+1,所以当n=1时,a1=S1=2a1+1,解得a1=-1;当n=2时,a1+a2=S2=2a2+1,解得a2=-2;当n=3时,a1+a2+a3=S3=2a3+1,解得a3=-4;当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2a4+1,解得a4=-8;当n=5时,a1+a2+a3+a4+a5=S5=2a5+1,解得a5=-16;当n=6时,a1+a2+a3+a4+a5+a6=S6=2a6+1,解得a6=-32.所以S6=-1-2-4-8-16-32=-63.解法二 因为Sn=2an+1,所以当n=1时,a1=S1=2a1+1,解得a1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),所以an=2an-1,所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以an=-2n-1,所以S6=-1×(1-26)1-2=-63.2.(1)n(n∈N*) 在21·a1+22·a2+23·a3+…+2n·an=(n-1)·2n+1+2(n∈N*)中,令n为n-1,得21·a1+22·a2+23·a3+…+2n-1·an-1=(n-2)·2n+2(n≥2).两式相减得2nan=n·2n,即an=n(n≥2).当n=1时,a1=1,适合an=n.故an=n,n∈N*.(2)32n-23n 解法一 将an+1=13an+(12)n+1两边同时乘以2n+1,得2n+1·an+1=23(2n·an)+1.令bn=2n·an,则bn+1=23bn+1,将上式变形,得bn+1-3=23(bn-3).所以数列{bn-3}是首项为b1-3=2×56-3=-43,公比为23的等比数列.所以bn-3=-43·(23)n-1,即bn=3-2·(23)n.于是an=bn2n=32n-23n.第4页共4页\n解法二 将an+1=13an+(12)n+1两边同时乘以3n+1,得3n+1an+1=3nan+(32)n+1.令bn=3n·an,则bn+1=bn+(32)n+1,所以bn-bn-1=(32)n,bn-1-bn-2=(32)n-1,…,b2-b1=(32)2.将以上各式累加,得bn-b1=(32)2+…+(32)n-1+(32)n(n≥2).又b1=3a1=3×56=52=1+32,所以bn=1+32+(32)2+…+(32)n-1+(32)n=1·[1-(32)n+1]1-32=2·(32)n+1-2(n≥2),又b1=52满足上式,所以bn=2·(32)n+1-2.故an=bn3n=32n-23n.3.(1)C 令f(x)=x+90x(x>0),运用基本不等式得f(x)≥610,当且仅当x=310时等号成立.因为an=1n+90n,所以1n+90n≤1610,由于n∈N*,不难发现当n=9或n=10时,an=119最大.(2)3 解法一 由a1=2得a2=-3,a3=-12,a4=13,a5=2,…,显然该数列中的数从a5开始循环,周期是4.a1a2a3a4=1,a2020=a4=13.故a1a2a3a4…a2019=(a1a2a3a4)505·1a2020=3.解法二 因为an+1=1+an1-an,所以an+2=1+an+11-an+1=1+1+an1-an1-1+an1-an=-1an.于是an+4=-1an+2=an,即{an}是周期为4的周期数列.由a1=2得a2=-3,a3=-12,a4=13,a1a2a3a4=1.故a1a2a3a4…a2019=(a1a2a3a4)505·1a2020=1a4=3.第4页共4页
