课时提升练(三十七) 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC【解析】 由公理1知，命题A正确．对于B，假设AD与BC共面，由A正确得AC与BD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论正确．对于C，如图，当AB＝AC，DB＝DC，当二面角ABCD的大小变化时，AD与BC不一定相等，故不正确．对于D，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则由题设得BC⊥AE，BC⊥DE.根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.故D正确．【答案】 C2．(2022·天水模拟)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行 B．相交C．垂直D．异面【解析】 直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错；无论以上哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.【答案】 C3．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面【解析】 对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾．对于选项B，过点P与l，m都垂直的直线，即过点P且与l，m的公垂线段平行或重合的那一条直线．6\n对于选项C，过点P与l，m都相交的直线有一条或零条．对于选项D，过点P与l，m都异面的直线可能有无数条．【答案】 B4．(2022·石家庄模拟)如图739所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则( )图739A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上【解析】 EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．【答案】 D5．(2022·珠海一中等六校联考)如图7310，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，黑白图7310二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”．白蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚁爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i＋2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线(其中i∈N*)．设黑白二蚁走完第2022段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是( )A．1 B. C. D．0【解析】 由已知与图可知，白蚁“走完六段”后，又回到A点，故走完2022段后，停留的点为C点，同理，黑蚁最后停留的点为D1点，所以此时黑白蚁的距离为CD1＝.6\n【答案】 B6．如图7311，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是( )图7311A.B.C.D．2【解析】 如图，取AC中点G，连FG，EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；EG∥BC，EG＝BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝＝＝.【答案】 B二、填空题7．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．【解析】 设这四个点分别为A，B，C，D，若点D在点A，B，C所确定的平面内，则此时A，B，C，D四点共面；若点D不在点A，B，C所确定的平面内，则这四点能确定4个平面，综上所述，这四点能确定1个或4个平面．【答案】 1或48．如图7312为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．图7312【解析】 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH6\n在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．【答案】 39．如图7313所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．图7313【解析】 ∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′CC′，∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.【答案】 30°三、解答题10．如图7314所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．图7314【解】 取AC中点F，连EF，BF，则EF∥DC，∴∠BEF即为异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．∵DA＝1，BC＝，AB＝AC.∴DC＝，6\n∴EF＝.在△BEF中，BE＝BF＝＝，由余弦定理得cos∠BEF＝＝＝，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.11．(2022·许昌调研)如图7315所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．图7315(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？【解】 (1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．6\n又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．12．已知四面体ABCD的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，求a的取值范围．【解】 如图所示，AB＝，CD＝a，设点E为AB的中点，则ED⊥AB，EC⊥AB，则ED＝＝，同理EC＝，由构成三角形的条件知：0＜a＜ED＋EC＝，∴0＜a＜.6
