专题8.2空间点、直线、平面之间的位置关系【考纲解读】内容要求备注A B C 点、线、面之间的位置关系 平面及其基本性质 √ 1．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．【直击考点】题组一常识题1．给出下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．其中真命题的序号是________．2．已知直线a与b平行，直线c与b相交，则直线a与c的位置关系是________．【解析】当直线c在直线a与b确定的平面内时，a与c相交；当直线c与直线a，b确定的平面相交时，a与c异面．3．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．【解析】EF∥BC，BC∥AD，则EF∥AD，所以EF∥平面PAD；易知E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线．题组二 常错题8\n4．下列关于异面直线的说法中正确的是________．①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．【解析】①②③中的两条直线还有可能平行或相交，由异面直线的定义可知④正确．5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．6．三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，底面边长为2，高为，M是AB的中点，则直线CM与BC1所成的角等于________．【解析】如图所示，取A1B1的中点N，连接C1N，MN，则C1N∥CM，所以∠BC1N即为异面直线CM与BC1所成的角，由题意易得C1N＝，BN＝，BC1＝，所以三角形BNC1为等腰直角三角形，则∠BC1N＝45°.题组三 常考题7．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件． 【解析】当m⊂α，m∥β时，不能确定平面α与β平行；当α∥β时，根据平面与平面平行的性质，可以推出m∥β.8．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，给出下列命题：8\n①l与l1，l2都不相交；②l与l1，l2都相交；③l至多与l1，l2中的一条相交；④l至少与l1，l2中的一条相交．其中为真命题的是________．9．如图所示，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．【解析】连接ND，取ND的中点为E，则ME∥AN，则异面直线AN，CM所成的角为∠EMC.因为AN＝ND＝MC＝＝2，所以ME＝，CE＝＝，则cos∠EMC＝＝＝.【知识清单】考点1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．考点2空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类8\n直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．考点3异面直线所成的角异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．②范围：.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．【考点深度剖析】平面的基本性质是立体几何的基础，而两条直线位置关系是高考热点，在高考卷中频频出现．【重点难点突破】考点1平面的基本性质【1-1】下列命题中正确个数的是_______．A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】3【解析】对于D,若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．【1-2】以下四个命题中，正确命题的个数是_______．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面【答案】18\n【1-3】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．【答案】①②③【解析】在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．【思想方法】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.【温馨提醒】证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．8\n证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．异面直线的判定方法判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．考点2空间两直线的位置关系【2-1】对于直线m、n和平面α，下列命题中的假命题个数是_______．A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m与n相交【答案】3【2-2】已知a，b，c是直线，α，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；③a∥α，b⊂α，则a∥b；④若a，b异面，且a∥β，则b与β相交；⑤若a，b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数为_______．【答案】1【解析】仅②为真命题．【2-3】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题错误个数是_______．A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l2∥l3∥l1⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【答案】38\n【2-4】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_______条．【答案】无数【解析】在A1D1上任取一点P，则E，F，P确定一个平面α，过P作PQ∥EF，则Q∈α，连接QF并延长交DC的延长线于M，则M∈α，连接PM，则PM与EF相交，当然也与A1D1，CD相交．重复以上过程，另取P′点，会产生P′M′，故这样的直线有无数条.【思想方法】空间中直线位置关系的判定，主要是异面和垂直的判定．对于异面直线，可采用定理或反证法，对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质说明．【温馨提醒】要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．考点3异面直线所成的角【3-1】已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是_______．【答案】相交、平行或异面【解析】依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.【3-2】如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线_______对．【答案】24【解析】如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对)．【3-3】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．8\n【答案】(2)(4)【思想方法】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【温馨提醒】证明两直线为异面直线的方法定义法(不易操作)．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．【易错试题常警惕】1．正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．3．两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．8
