专题突破练22 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.经过原点的直线与椭圆C:=1(a>b>0)交于A,B两点,点P为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的离心率;(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点.若点F1在以|MN|为直径的圆内部,求k的取值范围.2.(2022湖南衡阳一模,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,直线y=1与C的两个交点间的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,过F1,F2作两条平行线l1,l2与C的上半部分分别交于A,B两点,求四边形ABF2F1面积的最大值.10\n3.已知A是椭圆E:=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.4.(2022全国卷3,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:2||=||+||.10\n5.椭圆E:=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.10\n6.(2022山东潍坊一模,文20)抛物线E:x2=2py(0<p<2)的焦点为F,圆C:x2+(y-1)2=1,点P(x0,y0)为抛物线上一动点.已知当|PF|=时,△PFC的面积为.(1)求抛物线方程;(2)若y0>,过P作圆C的两条切线分别交y轴于M,N两点,求△PMN面积的最小值,并求出此时P点坐标.参考答案专题突破练22 圆锥曲线中10\n的最值、范围、证明问题1.解(1)设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),P(x0,y0),∵点A,B,P三点均在椭圆上,∴=1,=1,∴作差得=-,∴kPA·kPB==-=-=-1+e2=-,∴e=.(2)设F1(-c,0),F2(c,0),直线l的方程为y=k(x-c),记M(x3,y3),N(x4,y4),∵e=,∴a2=4b2,c2=3b2,联立得(1+4k2)x2-8ck2x+4c2k2-4b2=0,Δ>0,∴当点F1在以|MN|为直径的圆内部时,=(x3+c)(x4+c)+y3·y4<0,∴(1+k2)x3x4+(c-ck2)(x3+x4)+c2+c2k2<0,得(1+k2)+(1-k2)·+c2(1+k2)<0,解得-<k<.2.解(1)易知椭圆过点,1,10\n∴=1,①由,得c=a,代入a2=b2+c2,得3a2=4b2,②联立①②得a2=4,b2=3,∴椭圆的方程为=1.(2)设直线l1:x=my-1,它与C的另一个交点为D.设A(x1,y1),D(x2,y2),与C联立,消去x,得(3m2+4)y2-6my-9=0,Δ=144(m2+1)>0.y1+y2=,y1·y2=-,|AD|====.又F2到l1的距离为d=,所以=12×.令t=≥1,则,所以当t=1时,最大值为3.又(|AF1|+|BF2|)·d=(|AF1|+|DF1|)·d=|AD|·d=,所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.3.(1)解设M(x1,y1),则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.10\n又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=.(2)证明将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=得x1=,故|AM|=|x1+2|.由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得,即4k3-6k2+3k-8=0.设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)单调递增.又f()=15-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在(,2)内.所以<k<2.4.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由=k得·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.10\n(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=.于是||==2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||.5.解(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=.(2)由题意t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+.由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=10\n.由2|AM|=|AN|得,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.t>3等价于<0,即<0.由此得解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).6.解(1)由题意知F0,,C(0,1),∵0<p<2,∴|FC|=1-,|PF|=p,∴y0+p,∴y0=2p,∴|x0|=2p,∴S△PFC=1-2p=,∴p=1,∴抛物线方程为x2=2y.(2)设过点P且与圆C相切的直线的方程为y-y0=k(x-x0),令x=0,得y=y0-kx0,∴切线与x轴交点为(0,y0-kx0),而d==1,整理得(-1)k2+2x0(1-y0)k+-2y0=0,y0>,∴>1.10\n设两切线斜率为k1,k2,则k1+k2=,k1k2=.∴S△PMN=|(y0-k1x0)-(y0-k2x0)||x0|=|k1-k2|,∵|k1-k2|2=(k1+k2)2-4k1k2==,∴|k1-k2|=,则S△PMN=,令2y0-1=t(t>0),则y0=,∴S△PMN=+1≥2+1=2.当且仅当,即t=1时取等号,2y0-1=1,y0=1,此时点P坐标为(,1)或(-,1).△PMN面积的最小值为2.10
