习题课 导数在研究函数中的应用一、基础过关1．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为________．2．函数y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是________．(填序号)3．使y＝sinx＋ax在R上是增函数的a的取值范围为__________．4．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m等于________．5．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m＝________.6．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．二、能力提升7．如果函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a、b、c∈R)在R上不单调，那么a、b、c的关系为________．8．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．9．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．-4-\n10．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋6，若x＝3是f(x)的一个极值点，求f(x)在[0，a]上的最值．11．设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.三、探究与拓展12．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．-4-\n答案1.2．④3．[1，＋∞)4．－25．26．37．a2>3b，c∈R8．(－2,2)9.10．解 f′(x)＝3x2－2ax＋3，由已知得f′(3)＝0，∴3×9－6a＋3＝0.∴a＝5，∴f(x)＝x3－5x2＋3x＋6.令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，得x1＝，x2＝3.则x，f′(x)，f(x)的变化关系如下表.x03(3,5)5f′(x)＋0－0＋f(x)6递增6递减－3递增21∴f(x)在[0,5]上的最大值为f(5)＝21，最小值为f(3)＝－3.11．(1)解 f′(x)＝1＋2ax＋.由已知条件得即解得(2)证明 因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，-4-\n则g′(x)＝－1－2x＋＝－.当0<x<1时，g′(x)>0，当x>1时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.12．解 当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.当f′(x)>0时，(－x2＋2)ex>0，注意到ex>0，所以－x2＋2>0，解得－<x<.所以，函数f(x)的单调递增区间为(－，)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，则y<1＋1－＝，故a≥.-4-
