中档大题规范练——导数的应用1．已知函数f(x)＝x3－2x＋1，g(x)＝lnx.(1)求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实常数k和m，使得x>0时，f(x)≥kx＋m且g(x)≤kx＋m？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由F(x)＝x3－2x＋1－lnx(x>0)，得F′(x)＝(x>0)，令F′(x)＝0得x＝1，易知F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F(x)的极小值为F(1)＝0.(2)易知f(x)与g(x)有一个公共点(1,0)，而函数g(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，下面只需验证都成立即可．设h(x)＝x3－2x＋1－(x－1)(x>0)，则h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)(x>0)．易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)＝0，所以f(x)≥x－1恒成立．设k(x)＝lnx－(x－1)，则k′(x)＝(x>0)．易知k(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以k(x)的最大值为k(1)＝0，所以g(x)≤x－1恒成立．故存在这样的实常数k＝1和m＝－1，使得x>0时，f(x)≥kx＋m且g(x)≤kx＋m.2．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上单调递增，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递减，又f′()＝.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[0，m](m>0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由已知f′(0)＝f′(1)＝0，即解得所以f′(x)＝3ax2－3ax，所以f′()＝－＝，所以a＝－2，b＝3，所以f(x)＝－2x3＋3x2.(2)令f(x)≤x，即－2x3＋3x2－x≤0，所以x(2x－1)(x－1)≥0，所以0≤x≤或x≥1.又f(x)≤x在区间[0，m]上恒成立，所以0<m≤.-5-\n3．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．解 (1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2.令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，则当x<－或x>时，g′(x)<0，从而g(x)在区间(－∞，－)，(，＋∞)上是减函数；当－<x<时，g′(x)>0，从而g(x)在区间(－，)上是增函数．由上述讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，，2时取得，而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.4．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？解 (1)因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为ω＝2000－St.ω′＝－S＝，令ω′＝0，得t＝t0＝()2.当t<t0时，ω′>0；当t>t0时，ω′<0，所以t＝t0时，ω取得最大值．因此乙方获得最大利润的年产量t0＝()2(吨)．-5-\n(2)设甲方净收入为v元，则v＝St－0.002t2将t＝()2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式：v＝－.又v′＝－＋＝，令v′＝0，得S＝20.当S<20时，v′>0；当S>20时，v′<0，所以S＝20时，v取得最大值．因此甲方向乙方要求的赔付价格S＝20(元/吨)时，获得最大净收入．5．已知函数f(x)＝lnx＋，a∈R.(1)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．解 (1)∵f(x)＝lnx＋，∴f′(x)＝－.∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝－≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤在[2，＋∞)上恒成立．令g(x)＝，则a≤g(x)min，x∈[2，＋∞)，∵g(x)＝在[2，＋∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(2)＝1.∴a≤1.∴实数a的取值范围为(－∞，1]．(2)由(1)得f′(x)＝，x∈[1，e]．①若2a<1，则x－2a>0，即f′(x)>0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是增函数．∴f(x)min＝f(1)＝2a＝3，解得a＝(舍去)．②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x＝2a.当1<x<2a时，f′(x)<0，∴f(x)在(1,2a)上是减函数，当2a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在(2a，e)上是增函数．∴f(x)min＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3，解得a＝(舍去)．③若2a>e，则x－2a<0，即f′(x)<0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是减函数．-5-\n∴f(x)min＝f(e)＝1＋＝3，得a＝e.适合题意．综上a＝e.6．已知函数f(x)＝alnx＋ax2＋bx(a≠0)．(1)若函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝3x－b，求a、b的值；(2)若a＝2时，函数f(x)是增函数，求实数b的取值范围；(3)设函数g(x)＝lnx的图象C1与函数h(x)＝f(x)－ag(x)的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)函数f(x)＝alnx＋ax2＋bx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋ax＋b＝，当x＝1时，f′(1)＝2a＋b＝3，f(1)＝a＋b，所以函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y－(a＋b)＝3(x－1)，即y＝3x＋(a＋b－3)，所以a＋b－3＝－b，解方程组得a＝b＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝＋2x＋b，则f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即b≥－－2x在(0，＋∞)上恒成立，因为＋2x≥2＝4(当且仅当x＝1时等号成立)，所以－－2x≤－4，所以b≥－4，故实数b的取值范围为[－4，＋∞)．(3)设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且0<x1<x2，则点M、N的横坐标均为x＝.C1在点M处的切线斜率为k1＝|x＝＝.C2在点N处的切线斜率为k2＝(ax＋b)|x＝＝＋b.假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1＝k2，则＝＋b，-5-\n即＝＋b(x2－x1)＝(x＋bx2)－(x＋bx1)＝y2－y1＝lnx2－lnx1＝ln，所以ln＝＝，令u＝>1，则lnu＝，u>1，①令r(u)＝lnu－，u>1，则r′(u)＝－＝.因为u>1，所以r′(u)>0，所以r(u)在(1，＋∞)上单调递增，故r(u)>r(1)＝0，则lnu>，这与①矛盾，故假设不成立．即不存在满足题意的点R.-5-
