中档大题规范练——直线与圆1．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值．解 (1)由条件知点M在圆O上，所以1＋a2＝4，则a＝±.当a＝时，点M为(1，)，kOM＝，k切＝－，此时切线方程为y－＝－(x－1)．即x＋y－4＝0，当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.此时切线方程为y＋＝(x－1)．即x－y－4＝0.所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，则d＋d＝OM2＝3.又有AC＝2，BD＝2，所以AC＋BD＝2＋2.则(AC＋BD)2＝4×(4－d＋4－d＋2·)＝4×[5＋2]＝4×(5＋2)．因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，当且仅当d1＝d2＝时取等号，所以≤，所以(AC＋BD)2≤4×(5＋2×)＝40.所以AC＋BD≤2，即AC＋BD的最大值为2.2．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8.(1)设点Q(x，y)是圆C上一点，求x＋y的取值范围；(2)在直线x＋y－7＝0上找一点P(m，n)，使得过该点所作圆C的切线段最短．解 (1)设x＋y＝t，因为Q(x，y)是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，即≤2，解得－5≤t≤3，即x＋y的取值范围是[－5,3]．(2)因为圆心C到直线x＋y－7＝0的距离d＝＝4>2＝r，-4-\n所以直线与圆相离，因为切线、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线，组成一直角三角形且半径为定值；所以只有当过圆心向直线x＋y－7＝0作垂线，过其垂足作的切线段最短，其垂足即为所求．设过圆心作直线x＋y－7＝0的垂线为x－y＋c＝0.又因为该线过圆心(－1,0)，所以－1－0＋c＝0，即c＝1，而x＋y－7＝0与x－y＋1＝0的交点为(3,4)，即点P坐标为(3,4)．3．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．解 (1)如图所示，AB＝4，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，∴圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，又AD＝2，AC＝4.在Rt△ACD中，可得CD＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线l的距离公式：＝2，得k＝.故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，即·＝0，∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.4．a为何值时，(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？(2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？解 (1)①当a＝0时，两直线的斜率不存在，直线l1：x－1＝0，直线l2：x＋1＝0，此时，l1∥l2.②当a≠0时，l1：y＝－x＋，l2：y＝x－，直线l1的斜率为k1＝－，-4-\n直线l2的斜率为k2＝，要使两直线平行，必须解得a＝.综合①②可得当a＝0或a＝时，两直线平行．(2)方法一 ①当a＝0时，直线l3的斜率不存在，直线l3：x－1＝0，直线l4：y－＝0，此时，l3⊥l4.②当a≠0时，直线l3：y＝－x＋与直线l4：y＝－x＋，直线l3的斜率为k3＝－，直线l4的斜率为k4＝－，要使两直线垂直，必须k3·k4＝－1，即－·＝－1，不存在实数a使得方程成立．综合①②可得当a＝0时，两直线垂直．方法二 要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直，根据两直线垂直的充要条件，必须A1A2＋B1B2＝0，即2a＋2a＝0，解得a＝0，所以，当a＝0时，两直线垂直．5．已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，且过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围．解 将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝，∴>0，①∴圆心C的坐标为(－，－1)，半径r＝.当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，∴AC>r，即>，化简得a2＋a＋9>0.②由①②得－<a<，∴a的取值范围是－<a<.6．已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△AOB的面积为定值；(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程；(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标．-4-\n(1)证明 由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；当x＝0时，y＝0或，则B(0，)，所以S△AOB＝OA·OB＝|2t|·||＝4为定值．即△AOB的面积为定值．(2)解 ∵OM＝ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5.由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)解 点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点B′(－4，－2)，则PB＋PQ＝PB′＋PQ≥B′Q，又B′到圆上点Q的最短距离为B′C－r＝－＝3－＝2.所以PB＋PQ的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为(－，－)．-4-
