中档大题规范练——概率与统计1．第12届全运会已于2022年8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；(2)若从身高180cm以上(包括180cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5cm以上的概率．解 (1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以抽取的5人中，“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人．“高个子”用A，B表示，“非高个子”用a，b，c表示，则从这5人中选2人的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，至少有一名“高个子”被选中的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共7种．因此，至少有一人是“高个子”的概率是P＝.(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180cm以上(包括180cm)，身高分别为181cm,182cm,184cm,187cm,191cm；有2名女志愿者身高为180cm以上(包括180cm)，身高分别为180cm,181cm.抽出的2人用身高表示，则有(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种情况，身高相差5cm以上的有(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种情况，故这2人身高相差5cm以上的概率为＝.2．(2022·北京)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．-3-\n(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解 (1)在3月1日至3月13日到达这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良．所以，此人到达当日空气质量优良的概率P＝.(2)事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”发生，则该人到达日期应在4日，5日，7日或8日．所以，只有一天空气重度污染的概率P＝.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．3．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．(1)求点P(x，y)在直线y＝x－2上的概率；(2)求点P(x，y)满足y2<2x的概率．解 每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以，基本事件总数为6×6＝36(个)．(1)记“点P(x，y)在直线y＝x－2上”为事件A，则事件A有4个基本事件：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)，所以，P(A)＝＝.(2)记“点P(x，y)满足y2<2x”为事件B，则事件B有12个基本事件：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，所以，P(B)＝＝.4．从一批苹果中，随机抽取50个作为样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数(个)5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解 (1)苹果的重量在[90,95)的频率为＝0.4.(2)重量在[80,85)的有×4＝1个．(3)设[80,85)段中的苹果为A，[95,100)段中的苹果为B、C、D，从中任取两个，其一切可能的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6种，设“重量在[80,85)和[95,100)中各有1个”为事件E，其包括(A，B)，(A，C)，(A，D)共3种．则P(E)＝＝.-3-\n5．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率；(2)求取得的两个球颜色不相同的概率．解 从六个球中取出两个球的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共计15个基本事件．(1)记事件A为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件的是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个基本事件，故P(A)＝＝.记事件B为“取出的两个球是黑球”，同理可得P(B)＝.记事件C为“取出的两个球的颜色相同”，则C＝A＋B，且A，B互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.(2)记事件D为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C，D互斥，根据互斥事件概率之间的关系，得P(D)＝1－P(C)＝1－＝.6．(2022·福建)根据世行2022年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．解 (1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为(8000×0.25a＋4000×0.30a＋6000×0.15a＋3000×0.10a＋10000×0.20a)＝6400.因为6400∈[4085,12616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝.-3-
