中档大题规范练——数列1．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2a4＝64，a1＋a5＝18.(1)若1<i<21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值．(2)设bn＝，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋bn<m对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由．解 (1)数列{an}为等差数列，因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，又公差d>0，所以a2<a4，所以a2＝5，a4＝13.所以①所以a1＝1，d＝4.所以an＝4n－3.由1<i<21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21＝a，即1×81＝(4i－3)2，解得i＝3.(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，所以bn＝＝(－)，②所以b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋－)＝，因为＝－<，③所以存在m＝使b1＋b2＋…＋bn<m对于任意的正整数n均成立．2．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．解 (1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a.因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②，得-5-\n－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)·2n.即数列{nan}的前n项和为1＋(n－1)·2n.3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1＝1，设数列{bn}满足bn＝an＋2n.(1)求证数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)若数列cn＝，Tn是数列{cn}的前n项和，证明：Tn<3.(1)解 当n≥2时，由⇒2an＝an＋1－an－2n⇒an＋1＝3an＋2n，从而bn＋1＝an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)＝3bn，故{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，bn＝an＋2n＝3×3n－1＝3n，an＝3n－2n(n≥2)，因为a1＝1也满足，于是an＝3n－2n.(2)证明 cn＝＝，则Tn＝＋＋＋…＋＋，①Tn＝＋＋＋…＋＋，②①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－＝1＋·－＝2－－＝2－，故Tn＝3－<3.4．已知单调递增数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(a＋n)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝求数列{cn}的前n项和Tn.解 (1)n＝1时，a1＝(a21＋1)，得a1＝1，由Sn＝(a＋n)，①则当n≥2时，Sn－1＝(a＋n－1)，②-5-\n①－②得an＝Sn－Sn－1＝(a－a＋1)，化简得(an－1)2－a＝0，an－an－1＝1或an＋an－1＝1(n≥2)，又{an}是单调递增数列，故an－an－1＝1，所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.(2)cn＝当n为偶数时，Tn＝(c1＋c3＋…＋cn－1)＋(c2＋c4＋…＋cn)＝(＋＋…＋)＋3×(21＋23＋…＋2n－1)＋＝＋＋…＋＋3×＋＝×(－＋－＋…＋－)＋2×(4－1)＋＝2n＋1＋.当n为奇数时，Tn＝(c1＋c3＋…＋cn)＋(c2＋c4＋…＋cn－1)＝[＋＋…＋]＋3×(21＋23＋…＋2n－2)＋＝×(－＋－＋…＋－)＋2×(4－1)＋＝2n＋.所以Tn＝5．已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f()，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<对一切n∈N*恒成立，求最小正整数m.解 (1)∵an＋1＝f()＝＝＝an＋，∴{an}是以1为首项，为公差的等差数列．∴an＝1＋(n－1)×＝n＋.(2)当n≥2时，bn＝＝-5-\n＝＝(－)，又b1＝3＝(1－)，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝，∵Sn<对一切n∈N*恒成立，即<对一切n∈N*恒成立，又<，∴≥，即m≥2023.∴最小正整数m为2023.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式；(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解 (1)由题意知，当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，所以an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.当n≥8时，数列{an}从a7开始构成首项为a7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝的等比数列，则此时an＝16×n－7，所以an＝(2)设Sn为数列{an}的前n项和，当1≤n≤7时，Sn＝4n＋×2＝n2＋3n，当n≥8时，由S7＝72＋3×7＝70，则Sn＝70＋16××＝80×n－7－10，∴该生产线前n年的每年平均维护费用为＝当1≤n≤7时，为递增数列，当n≥8时，-5-\n∵－＝－＝>0，∴>.∴也为递增数列．又∵＝10<12，＝＝11.25<12，＝≈12.78>12，则第9年年初需更新生产线．-5-
