【高考领航】2022高考数学总复习10-7离散型随机变量及其分布列练习苏教版【A组】一、填空题1．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是________．①P(X＝2) ②P(X≤2) ③P(X＝4) ④P(X≤4)解析：X服从超几何分布P(X＝k)＝，故k＝4.答案：③2．设X是一个随机变量，其分布为X－101P1－2qq2，则q为________．解析：＋(1－2q)＋q2＝1，解得q＝1±，又1－2q≥0，q2≥0，故q＝1－.答案：1－3．随机变量X的概率分布规律为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，其中c是常数，则P(＜X＜)的值为________．解析：由题意得，＋＋＋＝1，得c＝，于是P(＜X＜)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝c＝×＝.7\n答案：4．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是________．①2颗都是4点②1颗是1点，另1颗是3点③2颗都是2点④1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解析：“X＝4”表示抛掷2颗骰子其点数之和为4，即两颗骰子中“1颗1点，另1颗3点，或两颗都是2点．”答案：④5．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝为常数，k＝1，2，…，则a＝________．解析：由分布列的性质知：＋＋…＋＋…＝1，∴a·＝1，解得a＝4.答案：46．设离散型随机变量X的分布列为X012P则(1)P(X≤)＝________．(2)P＝________．(3)P(1≤X≤3)＝________．解析：(1)P(X≤)＝P(0)＝；(2)P＝P(1)＝；(3)P(1≤X≤3)＝P(1)＋P(2)＝＋＝.答案：(1) (2) (3)7．设随机变量X的分布列为7\nX123…nPk2k4k…2n－1·k则k＝________.解析：由分布列的性质知k＋2k＋4k＋…＋2n－1k＝1，∴·k＝1，即k＝.答案：二、解答题8．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C＝1225.选出2人使用版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350.故2人使用版本相同的概率为：P＝＝.(2)∵P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴ξ的分布列为ξ012P9.(2022·高考浙江卷)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．解：(1)由题意得X取3，4，5，6，且7\nP(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知E(X)＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝.【B组】一、填空题1．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是________．解析：由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0，1)，可得p∈.答案：2．若p为非负实数，随机变量ξ的概率分布如下表，则E(ξ)的最大值为________，V(ξ)的最大值为________.ξ012P－pp解析：E(ξ)＝p＋1≤；V(ξ)＝－p2－p＋1≤1.答案： 13．(2022·常州模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)＝________．答案：4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X7\n＝0)＝________．答案：5．袋中有大小相同的6只钢球，分别标有1，2，3，4，5，6六个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为________．答案：96．现有三枚外观一致的硬币，其中两枚是均匀硬币，另一枚是不均匀的硬币，这枚不均匀的硬币抛出后正面出现的概率为，现投掷这三枚硬币各1次，设ξ为得到的正面次数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．解析：抛掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面的概率均为，易得ξ＝0，1，2，3，由于各枚出现正反面的概率是相互独立的，所以P(ξ＝0)＝××＝；P(ξ＝1)＝C×××＋××＝；P(ξ＝2)＝C×××＋C×××＝；P(ξ＝3)＝××＝.故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.答案：7．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，则E(X)的值为________．答案：二、解答题8．某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲、乙、丙参加了一所中学的招聘面试，面试合格者可以正式签约，毕业生甲表示只要面试合格就签约，毕业生乙和丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响，求：(1)至少有1人面试合格的概率；(2)签约人数X的概率分布表．解：(1)至少有1人面试合格的概率为P＝1－＝.(2)P(X＝0)＝××＋××＋××＝，7\nP(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝××＝，P(X＝3)＝××＝.从而X的概率分布表为X0123P9.某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为，，.(1)求该高中获得冠军个数X的概率分布表；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则扣2分，求该高中得分η的概率分布表．解：(1)x的可能取值为0，1，2，3，取相应值的概率分别为P(X＝0)＝××＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝.∴X的概率分布表为X0123P(2)∵得分η＝5X＋2(3－X)＝6＋3X，∵X的可能取值为0，1，2，3.∴η的可能取值为6，9，12，15，取相应值的概率分别为P(η＝6)＝P(X＝0)＝，P(η＝9)＝P(X＝1)＝，7\nP(η＝12)＝P(X＝2)＝，P(η＝15)＝P(X＝3)＝.∴得分η的概率分布表为：η691215P7
