【高考领航】2022高考数学总复习6-4基本不等式练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·江苏三市第二次调研)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．解析：依题意得x＋1>1,2y＋1>1，易知(x＋1)(2y＋1)＝9，则(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝2＝6，当且仅当x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1时取等号，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值是4.答案：42．(2022·苏北八校三模)已知函数y＝a2x－4＋1(a>0且a≠1)的图象过定点A，且点A在直线＋＝1(m，n>0)上，则m＋n的最小值为________．解析：由已知函数y＝a2x－4＋1的图象过定点A(2,2)，且点A在直线＋＝1上，所以＋＝1，所以m＋n＝(m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即m＝n＝4时取等号，所以m＋n的最小值为8.答案：83．(2022·高考重庆卷)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________．解析：依题意得＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.答案：4．设a＞0，b＞0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________．解析：由题有()2＝3a·3b⇒a＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴＋＝(＋)(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，∴＋的最小值为4.答案：47\n5．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为____．解析：∵x＞0，y＞0，∴＋＝＝1可化为4x＋3y＝12，∴(4x)·(3y)≤2＝36(当且仅当4x＝3y时等号成立)，即12xy≤36，∴xy≤3.∴xy的最大值为3.答案：36．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为__________．解析：设两个正方形边长分别为a，b，则由题可得a＋b＝1，且≤a，b≤，S＝a2＋b2≥2×()2＝，当且仅当a＝b＝时取等号．答案：7．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析：∵x＞0，∴x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，∴＝≤＝，即的最大值为，故a≥.答案：[，＋∞)二、解答题8．(1)已知x，y为正实数，且2x＋y＝1，求＋的最小值；(2)已知a、b为正数，且a2＋＝1，求a的最大值以及达到最大值时a、b的值．解：(1)法一：＋＝＋7\n＝2＋1＋＋≥3＋2.当且仅当＝，即x＝1－时取最小值3＋2.法二：＋＝(＋)(2x＋y)＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝，即x＝1－时取最小值3＋2.(2)因为a、b都为正数，且a2＋＝1，所以a＝·a·≤·＝，当且仅当a＝时，等号成立．由 得故当a＝，b＝时，a有最大值.9．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)，问该厂是否可以考虑利用此优惠条件，请说明理由．解：(1)设该厂应隔x(x∈N*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)，从而有y1＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417.7\n当且仅当＝3x，即x＝10时，y1有最小值．即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋303(x≥25)．∵g(x)＝＋3x在[10，＋∞)上是增函数，∴y2在[25，＋∞)上也是增函数．∴当x＝25时，y2有最小值390，而390＜417.∴该厂可以接受此优惠条件．【B组】一、填空题1．(2022·常州重点中学联考)已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值是2；又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.答案：22．(2022·苏州联合测试)已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值为________．解析：依题意得·＝||·||cos30°＝2，则||·||＝4，故S△ABC＝||·||sin30°＝1，即＋x＋y＝1，x＋y＝，所以＋＝2(x＋y)·＝2≥2＝18，当且仅当＝，即y＝2x＝时，等号成立，因此＋的最小值为18.答案：183．(2022·豫西五校联考)已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．7\n解析：依题意得，a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20(当且仅当|a|＝|2b|时取等号)，因此|a＋2b|的最小值是20.答案：204．(2022·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 85．(2022·高考北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________．解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥2＝20.当且仅当＝(x＞0)，即x＝80时“＝”成立．答案：806．(2022·高考浙江卷)若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．解析：由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy，∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋.解得－≤x＋y≤.当且仅当x＝y＝时x＋y取最大值为.答案：7．(2022·泰州模拟)设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是________．解析：2a＋2b≥2＝2＝2·＝4∴2a＋2b≥4.答案：47\n二、解答题8．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得(1)∵x＞0，y＞0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1.∴3xy－2－1≥0.即3()2－2－1≥0.∴(3＋1)(－1)≥0.∴≥1.∴xy≥1.当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·2.∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.∴x＋y≥2.当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.9．(2022·苏北四市联考)某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4000×2000＝8000000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：100×2000＝200000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：7\ny＝f(x)＝800x＋×20＋9000＝10x2＋790x＋9000(x∈N*)；(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g(x)＝×10000＝＝50≥50×(2＋79)＝6950(元)．当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．7
