x4-5-1绝对值不等式练习苏教版选修4-5一、填空题1．不等式＞的解集是________．解析：由绝对值的意义知，原不等式同解于＜0，即x(x－2)＜0，∴0＜x＜2.答案：(0，2)2．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足________．解析：由|x－a|＜1得a－1＜x＜a＋1.由|x－b|＞2得x＜b－2或x＞b＋2.∵A⊆B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，即a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3.答案：|a－b|≥33．已知不等式|x－m|＋|x|≥1的解集为R，则实数m的取值范围是________．解析：由绝对值不等式的几何意义知|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|，故|m|≥1，∴m≥1或m≤－1.答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)4．若关于x的不等式|x＋1|＋k＜x有解，则实数k的取值范围是________．解析：∵|x＋1|＋k＜x，∴k＜x－|x＋1|.若不等式有解则需k＜(x－|x＋1|)max.设f(x)＝x－|x＋1|，则f(x)＝由解析式可以看出f(x)max＝－1，∴k＜－1.答案：(－∞，－1)5．已知关于x的不等式|x－1|＋|x＋a|≤8的解集不是空集，则a的最小值是________．解析：由|x－1|＋|x＋a|≥|1－x＋x＋a|＝|a＋1|知|a＋1|≤8，故－9≤a≤7，因此a的最小值是－9.答案：－96．若不等式|x－a|＋|x－2|≥1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围为________．4\n解析：由|x－a|＋|x－2|≥|(x－a)－(x－2)|＝|a－2|.∴|a－2|≥1解之得a≤1或a≥3.答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)7．不等式||x＋3|－|x－3||＞3的解集为________．解析：由绝对值不等式的含义得到：x到－3和3的距离之差的绝对值大于3，结合数轴不难得出x＞或x＜－，故x∈{x|x＞或x＜－}．答案：{x|x＞或x＜－}8．(2022·高考江西卷)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：法一：|x－1|≤1⇒0≤x≤2，|y－2|≤1⇒1≤y≤3，可得可行域如图(阴影部分)．∵|x－2y＋1|＝，.其中z＝为点(x，y)到直线x－2y＋1＝0的距离．当(x，y)为(0，3)时z取得最大值＝.故|x－2y＋1|max＝5.法二：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大值为5.答案：59．给出下列四个命题：①若loga(a2＋4)≤loga(4a)＜0，则a的取值范围是(1，＋∞)；②函数f(x)＝log2(x2－5x＋1)的单调递减区间为(－∞，)；③不等式|x|＋|log2x|＞|x＋log2x|的解集为(0，1)；④若|a＋b|＜－c(a，b，c∈R)，则|a|＜|b|－c.4\n以上四个命题中，正确命题的序号为________．解析：对于①，由于a2＋4≥4a且loga(a2＋4)≤loga(4a)，∴0＜a＜1，∴①错；对于②，由x2－5x＋1＞0，得x＞或x＜，∴f(x)＝log2(x2－5x＋1)的递减区间为，故②错；对于③，必有x＞0且log2x＜0，∴0＜x＜1故③正确．对于④，∵|a|－|b|≤|a＋b|＜－c，∴|a|＜|b|－c，故④正确．答案：③④二、解答题10．(2022·高考江苏卷)解不等式x＋|2x－1|<3.解：法一：原不等式可化为|2x－1|<3－x.∴∴∴原不等式的解集是{x|－2<x<}．法二：原不等式可化为或解得≤x<或－2<x<.所以原不等式的解集是.11．(2022·高考福建卷)设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M：(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0<x<1，所以M＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1，0<b<1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，故ab＋1>a＋b.4\n12．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1，1]，且|f(x)|的最大值为M.(1)试证明|1＋b|≤M；(2)试证明M≥；(3)当M＝时，试求出f(x)的解析式．解：(1)证明：∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，∴2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴|1＋b|≤M.(2)证明：依题意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|，∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2，∴M≥.(3)当M＝时，|f(0)|＝|b|≤，－≤b≤①同理－≤1＋a＋b≤②－≤1－a＋b≤③②＋③得－≤b≤－④由①④得b＝－，当b＝－时，分别代入②③得⇒a＝0，因此f(x)＝x2－.4
