x4-4-1坐标系练习苏教版选修4-4一、填空题1．在极坐标系中，点P(ρ0，θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________．解析：设点P(ρ0，θ0)关于极点的对称点为(ρ，θ)，则ρ＋ρ0＝0，θ＝θ0＋π，∴对称点为(－ρ0，θ0)．答案：(－ρ0，θ0)2．过点(2，)平行于极轴的直线的极坐标方程是________．解析：设直线上点坐标P(ρ，θ)，则ρsinθ＝2cos(90°－45°)＝.答案：ρsinθ＝3．在极坐标系中，与点(3，－)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．解析：由于极径不变，极角关于极轴对称，∴其对称点为(3，)．答案：(3，)4．(2022·高考陕西卷)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析：消参数θ得曲线C1的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，将ρ＝1化为直角坐标方程为x2＋y2＝1，两圆的圆心距为5，故|AB|的最小值为5－1－1＝3.答案：35．(2022·高考湖南卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．解析：依题意，曲线C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝1；曲线C2的直角坐标系下的方程为x－y＋1＝0.易判断圆心(0，1)在直线x－y＋1＝0上．故C1与C2的交点个数为2.答案：26．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ4\n的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：由ρ＝6cosθ知ρ2＝6ρcosθ，即x2＋y2－6x＝0，其直角坐标方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心是(3，0)．所求直线的直角坐标方程为x＝3，其极坐标方程为ρcosθ＝3.答案：ρcosθ＝37．已知极坐标系中，极点为O，将点A(4，)绕极点逆时针旋转得到点B，且|OA|＝|OB|，则点B的直角坐标为________．解析：依题意，点B的极坐标为(4，)，∵cos＝cos(＋)＝coscos－sinsin＝·－·＝，sin＝sin(＋)＝sincos＋cossin＝·＋·＝，∴x＝ρcosθ＝4×＝－，y＝ρsinθ＝4×＝＋，∴点B的直角坐标为(－，＋)．答案：(－，＋)8．已知点M的极坐标为(6，)，则点M关于y轴对称的点的直角坐标为________．解析：∵点M的极坐标为(6，)，∴x＝6cos＝6cos＝6×＝3，y＝6sin＝6sin(－)＝－6×＝－3，∴点M的直角坐标为(3，－3)，∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)4\n9．从极点作圆ρ＝2acosθ的弦，则各条弦中点的轨迹为________．解析：设所求曲线上动点M的极坐标为(r，φ)，由图可知.把θ＝φ和ρ＝2r代入方程ρ＝2acosθ，得2r＝2acosφ，即r＝acosφ.(，这就是所求的轨迹方程．由极坐标方程可知，所求轨迹是一个以(，0)为圆心，半径为的圆．答案：以(，0)为圆心，以为半径的圆二、解答题10．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．解：化为平面直角坐标系：圆：x2－2x＋y2＝0，即：(x－1)2＋y2＝1.直线：3x＋4y＋a＝0.∵直线和圆相切，∴＝1，∴a＝2或a＝－8.11．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos(θ－)上的动点，试求PQ的最大值．解：∵ρ＝12sinθ.∴ρ2＝12ρsinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又∵ρ＝12cos(θ－)，∴ρ2＝12ρ(cosθcos＋sinθsin)，4\n∴有x2＋y2－6x－6y＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝36，∴PQmax＝6＋6＋＝18.12．(2022·高考福建卷)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q坐标为(cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离为d＝＝＝cos＋2，由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.4
