选修4—1 几何证明选讲真题试做1．(2012·广东高考，文15)如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝__________.2．(2012·天津高考，文13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．3．(2012·陕西高考，文15B)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝______.考向分析从近几年的高考情况看，本部分内容主要有两大考点，一是会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理；二是会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等．在高考中常以圆为背景，主要考查最基本、最重要的内容，试题多以填空题、解答题的形式呈现，试题难度属中低档．预计在今后高考中，几何证明选讲主要考查最基本、最重要的内容，如相似三角形，圆的切线、弦切角，圆内接四边形的性质与判定，与圆有关的比例线段等，试题难度中等．另外，对平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理、切线长定理等内容的考查，也应引起足够的重视．热点例析热点一 相似三角形问题【例1】如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝_________.规律方法在求线段的长度或计算比例线段的比值时，应注意的问题：(1)首先应先寻找所求线段或比例线段所在的两个三角形；(2)判断寻找的两个三角形是否具备相似的条件；(3)如果条件不能直接找出时，可巧添辅助线；-6-\n(4)有平行线时可应用平行线分线段成比例定理加以解决．变式训练1(2012·广东肇庆期末统考，理14)如图，PAB，PCD为⊙O的两条割线，若PA＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD等于__________．热点二 有关圆的切线、弦切角问题【例2】如图所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝__________.规律方法与圆的切线有关的几何证明问题处理思路：(1)若两圆相切时，往往需要添加两圆的公切线，转化为弦切角与圆心角、圆周角之间的关系；(2)在利用圆的切线、弦切角解题时，应特别注意圆周角、圆心角与弦切角的特殊关系．变式训练2如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为__________．热点三 圆内接四边形的判定与性质【例3】如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB=1，PD=3，则的值为____________.规律方法有关圆内接四边形问题的处理思路：(1)圆内接四边形(亦即四点共圆)的判定与性质，在近几年高考中常有考查，处理此类问题的关键是掌握对角的互补关系，同边所形成的弦、角的等量关系，以及外角与其内对角的相等关系等．(2)通常情况下把圆内接四边形问题转化为圆周角、圆心角、圆内角、圆外角、弦切角以及圆内接四边形的对角等问题，然后再利用题设条件来解决问题．(3)值得注意的有，在平面几何中求角的大小，经常考虑借助三角形内角和定理及其推论；在圆中求角的大小常常借助与圆有关的角的定理来完成．变式训练3如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是__________．-6-\n热点四 有关与圆相关的比例线段问题【例4】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE＝PA，∠ABC＝60°，PD＝1，BD＝8，则BC＝__________.规律方法与圆有关的比例线段问题的处理思路：解决与圆有关的比例线段问题，常常结合圆的切割线定理、割线定理、相交弦定理等来进行分析．当然，在解题过程中善于发现、构造相似三角形，寻找平行线截线段成比例等也是解决问题的关键环节．变式训练4如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为__________．1．如图，在ABCD中，N是AB延长线上一点，－的值等于( )．(第1题图)A.B．1C.D.2．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，则图中与△ABC相似的三角形有( )．(第2题图)A．1个B．2个C．3个D．4个3．(2012·北京丰台3月模拟，12)如图所示，Rt△ABC内接于圆，∠ABC＝60°，PA是圆的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆于点D.若PA＝AE，PD＝，BD＝3，则AP＝__________，AC＝__________.4．(2012·湖北华中师大一附中5月模拟，15)如图所示，圆O的直径为6，C为圆周上一点，BC＝3，过点C作圆的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD＝__________.-6-\n5．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝__________.(第5题图)6．(2012·广东江门一模，文14)如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆的直径．若AB＝6，AC＝5，AD＝4，则图中与∠BAE相等的角是__________，AE＝__________.(第6题图)7．(2012·广东六校第四次联考，文15)如图，点M为⊙O的弦AB上的一点，连接MO.MN⊥OM，MN交圆于点N，若MA＝2，MB＝4，则MN＝__________.参考答案命题调研·明晰考向真题试做1. 解析：∵直线PB与圆相切于点B，且∠PBA＝∠DBA，∴∠ACB＝∠ABP＝∠DBA，由此可得直线AB是△BCD外接圆的切线且B是切点，则由切割线定理得|AB|2＝|AD|·|AC|＝mn，即得|AB|＝.2. 解析：在圆中，由相交弦定理：AF·FB＝EF·FC，∴FC＝＝2，由三角形相似，＝，∴BD＝＝.由切割弦定理：DB2＝DC·DA，又DA＝4CD，∴4DC2＝DB2＝.∴DC＝.3．5 解析：由三角形相似可得DE2＝DF·DB，连接AD，则DE2＝AE·EB＝1×5＝5，所以DF·DB＝5.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】4 解析：∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，-6-\n∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8.又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC.∴＝，∴BE＝＝＝4.【变式训练1】6 解析：由割线定理得PA·PB＝PC·PD，∴5×(5＋7)＝PC(PC＋11)．∴PC＝4或PC＝－15(舍去)．又∵PA·PB＝PC·PD，＝，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PDB.∴＝＝＝.故BD＝3AC＝6.【例2】 解析：根据圆的性质有∠PAB＝∠ACB，而∠BAC＝∠APB，故△PAB∽△ACB，故有＝，将PB＝7，BC＝5代入解得AB＝.【变式训练2】 解析：设BE＝a，则AF＝4a，FB＝2a.∵AF·FB＝DF·FC，∴8a2＝2，∴a＝，∴AF＝2，FB＝1，BE＝，∴AE＝.又∵CE为圆的切线，∴CE2＝EB·EA＝×＝，∴CE＝.【例3】 解析：∵∠P＝∠P，∠A＝∠PCB，∴△PCB∽△PAD.∴＝＝.【变式训练3】99° 解析：如图，连接OB，OC，AC，根据弦切角定理，可得∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.【例4】2 解析：根据切割线定理，得PA2＝PD·PB＝9，故PA＝3.又根据弦切角定义，可得∠PAC＝∠ABC＝60°，且PE＝PA，故△PAE为等边三角形．所以BE＝6，DE＝2.根据相交弦定理，可得BE·DE＝AE·CE，解得CE＝4.在△BCE中用余弦定理，可解得BC＝2.【变式训练4】2 解析：设圆的半径为R，由PA·PB＝PC·PD得3×(3＋4)＝(5－R)(5＋R)，解得R＝2.创新模拟·预测演练1．B 解析：∵AD∥BM，∴＝.-6-\n又∵DC∥AN，∴＝.∴＝，∴＝.∴－＝－＝＝1.2．C 解析：△CDA，△DEA，△CED都与△ABC相似．3．2 34.5.6．∠DAC 解析：连接BE.∵∠C＝∠E，∠CDA＝∠EBA＝90°，∴△ABE∽△ADC.∴∠BAE＝∠DAC.又∵＝，∴AE＝＝.7．2 解析：延长NM交⊙O于点C.∵OM⊥MN，∴MN＝MC.又∵AM·MB＝MN·MC，∴2×4＝MN2，即MN＝2.-6-
