第2练用好逻辑用语、突破充要条件[题型分析·高考展望]逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主．在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用．这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．常考题型精析题型一命题及其真假判断常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有p、q都假，p∨q假，否则为真，只有p、q都真，p∧q真，否则为假；(4)全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假．例1(1)(2022·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面22(2)(2022·湖南)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x>y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案(1)D(2)C解析(1)对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．(2)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．22当x>y时，x>y不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.点评利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法．在解答时要有意识1\n地去练习．变式训练1(2022·重庆)已知命题：xp：对任意x∈R，总有2>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧qD．p∧(綈q)答案Dx解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，(綈p)∧(綈q)、(綈p)∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，故选D.题型二充分条件与必要条件例2(1)(2022·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析m⊂α，m∥β⇒/α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，所以m∥β是α∥β的必要而不充分条件．(2)给出下列命题：→→①若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；③在△ABC中，sinA>sinB的充要条件为A>B；④在△ABC中，设命题p：△ABC是等边三角形，命题q：a∶b∶c＝sinB∶sinC∶sinA，那么命题p是命题q的充分不必要条件．其中正确的命题为________．(把你认为正确的命题序号都填上)答案①③→→解析①正确．因为AB＝DC，→→→→所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为2\n→→→→→→平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此AB＝DC.②不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．ab③正确．由正弦定理知sinA＝，sinB＝，当sinA>sinB成立时，得a>b，则A>B；2R2R当A>B时，则有a>b，则sinA>sinB，故命题正确．④不正确．若△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，sinB＝sinC＝sinA，即命题p是命题qsinCbac的充分条件；若a∶b∶c＝sinB∶sinC∶sinA，则＝，又由正弦定理得＝，sinAcsinAsinCsinCccb222即＝，所以＝，即c＝ab，同理得a＝bc，b＝ac，所以c＝a＝b，所以△ABC是sinAaac等边三角形．因此命题p是命题q的充要条件．综上所述，正确命题的序号是①③.点评判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)准确转化：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件．变式训练2(2022·湖北)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：2222222(a1＋a2＋…＋an－1)·(a2＋a3＋…＋an)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)，则()A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案B2222222解析若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，则(a1＋a2＋…＋an－1)(a2＋a3＋…＋an)＝a1(122n－4222n－42222n－422＋q＋…＋q)·a2(1＋q＋…＋q)＝a1a2(1＋q＋…＋q)，(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)222n－42＝(a1a2)(1＋q＋…＋q)，故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝an＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.题型三与命题有关的综合问题例3下列叙述正确的是()33A．命题：∃x∈R，使x＋sinx＋2<0的否定为：∀x∈R，均有x＋sinx＋2<03\n22B．命题：“若x＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为：若x≠1或x≠－1，则x≠13n－7C．已知n∈N，则幂函数y＝x为偶函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n＝1x＋mD．函数y＝log2的图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m＝±13－x答案C33解析A：命题：∃x∈R，使x＋sinx＋2<0的否定为：∀x∈R，均有x＋sinx＋2≥0，故A错误；22B：命题：若x＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x≠1，故B错误；3n－7C：因为幂函数y＝x在x∈(0，＋∞)上单调递减，7所以3n－7<0，解得n<，又n∈N，33n－7所以n＝0,1或2；又y＝x为偶函数，3n－7所以，n＝1，即幂函数y＝x为偶函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n＝1，C正确；x＋mD：令y＝f(x)＝log2，由其图象关于点(1,0)中心对称，得f(x)＋f(2－x)＝0，3－xx＋m2－x＋m即log2＋log23－x3－2－xx＋m2＋m－x＝log2＝0，3－x1＋xx＋m2＋m－x＝1.3－x1＋x2整理得：m＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3，x＋mx＋m当m＝－3时，＝－1<0，y＝log2无意义，3－x3－x故m＝1.x＋m所以，函数y＝log2图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m＝1，D错误．3－x点评解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件．若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一．变式训练3(2022·江西)下列叙述中正确的是()22A．若a，b，c∈R，则“ax＋bx＋c≥0”的充分条件是“b－4ac≤0”22B．若a，b，c∈R，则“ab≥cb”的充要条件是“a>c”4\n22C．命题“对任意x∈R，有x≥0”的否定是“存在x∈R，有x≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β答案D222解析由于“若b－4ac≤0，则ax＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax＋bx＋c≥0”的充分2222222条件不是“b－4ac≤0”，A错；∵ab>cb，且b>0，∴a>c.而a>c时，若b＝0，则ab>cb222不成立，由此知“ab>cb”是“a>c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x≥0”2的否定是“存在x∈R，有x<0”，C错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确．高考题型精练2n1．(2022·课标全国Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n>2，则綈p为()2n2nA．∀n∈N，n>2B．∃n∈N，n≤22n2nC．∀n∈N，n≤2D．∃n∈N，n＝2答案C2n2n解析将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n>2”改为“n≤2”．2．(2022·课标全国Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q是充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案C解析当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，3比如，y＝x在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，3因而x＝0不是y＝x的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．3．下列命题中，真命题是()2A．∀x∈R，x>0B．∀x∈R，－1<sinx<1C．∃x0∈R,2x0<0D．∃x0∈R，tanx0＝2答案D2x解析∀x∈R，x≥0，故A错；∀x∈R，－1≤sinx≤1，故B错；由y＝2的图象可知∀xx∈R,2>0，故C错，D正确．5\nan＋an＋1*4．(2022·陕西)原命题为“若<an，n∈N，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否2命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假答案Aan＋an＋1解析<an⇔an＋1<an⇔{an}为递减数列．2原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.215．若命题p：函数y＝x－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调递x增区间是[1，＋∞)，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题答案D2解析因为函数y＝x－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x1－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨qx为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题，故选D.346．已知命题p：∀x∈R，x<x；命题q：∃x0∈R，sinx0－cosx0＝－2.则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．綈p∧qC．p∧(綈q)D．(綈p)∧(綈q)答案B34解析若x<x，则x<0或x>1，∴命题p为假命题；πx－若sinx－cosx＝2sin4＝－2，π3π7π则x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)，424∴命题q为真命题，∴綈p∧q为真命题．27．(2022·山东)若m∈R,命题“若m>0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()2A．若方程x＋x－m＝0有实根，则m＞02B．若方程x＋x－m＝0有实根，则m≤02C．若方程x＋x－m＝0没有实根，则m＞06\n2D．若方程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案D解析原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方2程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．8．下列5个命题中正确命题的个数是()22①对于命题p：∃x∈R，使得x＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x＋x＋1>0；②m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；^③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为y＝1.23x＋0.08；22π④若实数x，y∈[－1,1]，则满足x＋y≥1的概率为；4212⑤曲线y＝x与y＝x所围成图形的面积是S＝ʃ0(x－x)dx.A．2B．3C．4D．5答案A2解析①错，应当是綈p：∀x∈R，均有x＋x＋1≥0；②错，当m＝0时，两直线也垂直，所以m＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方2程；④错，实数x，y∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x＋2224－πy<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x＋y≥1的概率为；⑤正确，由定积分4的几何意义可知．2222xy9．已知命题p：实数m满足m＋12a<7am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝1m－12－m表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．13，答案3822解析由a>0，m－7am＋12a<0，得3a<m<4a，即命题p：3a<m<4a，a>0.22xy由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，m－12－m3可得2－m>m－1>0，解得1<m<，23即命题q：1<m<.2因为p是q的充分不必要条件，7\n3a>1，3a≥1，13所以3或3解得≤a≤，4a≤4a<，382213，所以实数a的取值范围是38.10．已知函数f(x)＝4|a|x－2a＋1.若命题：“∃x0∈(0,1)，使f(x0)＝0”是真命题，则实数a的取值范围为____________．1，＋∞答案2解析由于f(x)是单调函数，在(0,1)上存在零点，应有f(0)·f(1)<0，解不等式求出实数a的取值范围．由f(0)·f(1)<0⇒(1－2a)(4|a|－2a＋1)<0a≥0，a<0，1⇔或⇒a>.2a＋12a－1>06a－12a－1<0211．已知下列命题：22①命题“∃x0∈R，x0＋1>x0＋1”的否定是“∀x∈R，x＋1<x＋1”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是__________．答案②22解析命题“∃x0∈R，x0＋1>x0＋1”的否定是“∀x∈R，x＋1≤x＋1”，故①错；“p∨q”为假命题说明p假q假，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题，故②对；a>5⇒a>2，但a>2D⇒/a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．12．下面有四个关于充要条件的命题：①“向量b与非零向量a共线”的充要条件是“有且2只有一个实数λ使得b＝λa”；②“函数y＝x＋bx＋c为偶函数”的充要条件是“b＝0”；③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件；④设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________．答案①②④22解析由共线向量定理，知命题①为真．当b＝0时，y＝x＋bx＋c＝x＋c显然为偶函数，222反之，y＝x＋bx＋c是偶函数，则(－x)＋b(－x)＋c＝x＋bx＋c恒成立，就有bx＝0恒成立，得b＝0，因此②为真．对立事件是互斥事件的特殊情形，所以③为假．在④中，若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．但是若f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数，则φ＝π也成8\n立，故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件．9
