第31练 双曲线的渐近线和离心率问题[题型分析·高考展望] 双曲线作为三种圆锥曲线之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在选择题、填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.常考题型精析题型一 双曲线的渐近线问题例1 (1)(2022·重庆)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A.±B.±C.±1D.±(2)(2022·江西)如图，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).①求双曲线C的方程；②过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值. 点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y＝±x⇔±＝0⇔－16\n＝0，所以可以把标准方程－＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程：y＝x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，求出λ即得双曲线方程.变式训练1 (2022·山东)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )A.x±y＝0B.x±y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝0题型二 双曲线的离心率问题例2 (1)(2022·湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )A.对任意的a，b，e1>e2B.当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2C.对任意的a，b，e1<e2D.当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2(2)已知O为坐标原点，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若(＋)·＝0，则双曲线的离心率e为( )A.2B.3C.D.点评 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题.变式训练2 (2022·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3、F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.16\n(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值. 题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题例3 (2022·福建)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.16\n(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由. 点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练3 (2022·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________.高考题型精练1.(2022·课标全国Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是( )16\nA.B.C.D.2.(2022·广东)若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等3.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝14.以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是( )A.x2＋y2－10x＋9＝0B.x2＋y2－10x－9＝0C.x2＋y2＋10x＋9＝0D.x2＋y2＋10x－9＝05.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)以及双曲线－＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1的离心率为( )A.2或B.或C.2或D.或6.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为( )A.B.C.2D.37.已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________.8.已知双曲线C的中心在原点，且左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心率为________.16\n9.已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是____________.10.过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率是________________.11.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积. 12.(2022·威海模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率. 16\n答案精析第31练 双曲线的渐近线和离心率问题常考题型精析例1 C[双曲线－＝1的右焦点F(c,0)，左，右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a,0)，易求B，C，则kA2C＝，kA1B＝，又A1B与A2C垂直，则有kA1B·kA2C＝－1，即·＝－1，∴＝1，∴a2＝b2，即a＝b，∴渐近线斜率k＝±＝±1.](2)解 ①设F(c,0)，因为b＝1，所以c＝，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，解得B(，－).又直线OA的方程为y＝x，则A(c，)，kAB＝＝.又因为AB⊥OB，所以·(－)＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.②由①知a＝，则直线l的方程为16\n－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M(2，)；直线l与直线x＝的交点为N(，).则＝＝＝·.因为P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，代入上式得＝·＝·＝，即所求定值为＝＝.变式训练1 A[由题意知e1＝，e2＝，∴e1·e2＝·＝＝.又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2，∴＝＝1－()4，即1－()4＝，解得＝±，∴＝.令－＝0，解得bx±ay＝0，∴x±y＝0.]例2 (1)D (2)C16\n解析 (1)由题意e1＝＝；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，离心率e2＝＝.因为－＝，且a>0，b>0，m>0，a≠b，所以当a>b时，>0，即>.又>0，>0，所以由不等式的性质依次可得2>2,1＋2>1＋2，所以>，即e2>e1；同理，当a<b时，<0，可推得e2<e1.综上，当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2.(2)如图，设OF的中点为T，由(＋)·＝0可知AT⊥OF，又A在以OF为直径的圆上，∴A，又A在直线y＝x上，∴a＝b，∴e＝.变式训练2 解 (1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.16\n(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1,0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1.由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M(，)，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x.由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.又因为|y1－y2|＝＝，16\n所以2d＝.故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取得最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.例3 解 (1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，从而双曲线E的离心率e＝＝.(2)方法一 由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，所以|OC|·|AB|＝8，因此a·4a＝8，解得a＝2，此时双曲线E的方程为－＝1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件.16\n设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C(－，0).记A(x1，y1)，B(x2，y2).由得y1＝，同理，得y2＝.由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得|－|·|－|＝8，即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4).由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.因为4－k2<0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16).又因为m2＝4(k2－4)，所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.方法二 由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).依题意得－<m<.由得y1＝，同理，得y2＝.设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0).由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得|t|·＝8.所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2).由得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.16\n因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0，即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，所以a2＝4，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.变式训练3 解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.由得A(，)，由得B(，)，所以AB的中点C的坐标为(，).设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝＝.高考题型精练1.A[由题意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F2(，0)，∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0).∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，16\n∴2＋2y－3＋y<0，∴－<y0<.故选A.]2.A[因为0<k<9，所以两条曲线都表示双曲线.双曲线－＝1的实半轴长为5，虚半轴长为，焦距为2＝2，离心率为.双曲线－＝1的实半轴长为，虚半轴长为3，焦距为2＝2，离心率为，故两曲线只有焦距相等.故选A.]3.A[∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0).又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴＝2，∴5b2＝4a2.①又∵－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.]4.A[由于右焦点(5,0)到渐近线4x－3y＝0的距离d＝＝4，所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆.即圆的方程为x2＋y2－10x＋9＝0.]5.A[由题意，可知双曲线－＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则＝或.则e＝＝＝＝＝或2，故选A.]6.A[取双曲线的渐近线y＝x，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y＝－(x－c)，可解得点H的坐标为，则F2H的中点M的坐标为，代入双曲线方程－16\n＝1可得－＝1，整理得c2＝2a2，即可得e＝＝，故应选A.]7.x2－＝1解析 由y2＝8x,2p＝8，p＝4，∴其准线方程为x＝－2，即双曲线的左焦点为(－2,0)，c＝2，又e＝2，∴a＝1，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为x2－＝1.8.＋1解析 设以F1F2为底边的正三角形与双曲线C的右支交于点M，则在Rt△MF1F2中，可得|F1F2|＝2c，|MF1|＝c，|MF2|＝c，由双曲线的定义有|MF1|－|MF2|＝2a，即c－c＝2a，所以双曲线C的离心率e＝＝＝＋1.9.(2，＋∞)解析 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，设直线方程为y＝(x－c)，与y＝－x联立求得M，因为M在圆外，所以满足·>0，可得－c2＋2>0，解得e＝>2.10.解析 设双曲线的右焦点为F1，连接PF1.由＝(＋)知，E是FP的中点.又O是FF1的中点，∴OE∥PF1，且|OE|＝|PF1|，易知OE⊥FP，∴PF1⊥FP，∴|PF|2＋|PF1|2＝|FF1|2，|PF1|＝a，|PF|＝2a＋|PF1|＝3a，∴9a2＋a2＝(2c)2，∴＝.11.解 (1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，由＝得点P的坐标为.16\n将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1.设∠AOB＝2θ，∵tan＝2，则tanθ＝，从而sin2θ＝.又|OA|＝m，|OB|＝n，∴S△AOB＝|OA||OB|sin2θ＝2mn＝2.12.解 (1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为－＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，∴x0＝y0.①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，∴x0＝c，∴点A的坐标为，代入双曲线方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2.②又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，∴34－82＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0.∵e>1，∴e＝，∴双曲线的离心率为.16
