(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2022·洛阳模拟)已知抛物线C：y＝－x2，点A，B在抛物线上，且横坐标分别为－，，抛物线C上的点P在A，B之间(不包括点A，点B)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP的斜率k的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解 (1)由题意可知A，B，设P(xP，－x)，－<xP<，所以k＝＝－xP＋∈(－1,1)，故直线AP的斜率k的取值范围是(－1,1)．(2)直线AP：y＝kx＋k－，直线BQ：x＋ky＋k－＝0，联立可知，点Q的横坐标为xQ＝，|PQ|＝(xQ－xP)＝6\n＝，|PA|＝＝(1－k)，所以|PA|·|PQ|＝(1－k)3(1＋k)，令f(x)＝(1－x)3(1＋x)，－1<x<1，则f′(x)＝(1－x)2(－2－4x)＝－2(1－x)2(2x＋1)，当－1<x<－时，f′(x)>0，当－<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在上单调递增，在上单调递减．故f(x)max＝f＝，即|PA|·|PQ|的最大值为.2．(2022·葫芦岛模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，离心率为，圆O：x2＋y2＝c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，△A1AB面积的最大值为2.(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)若l为圆O的任意一条切线，l与椭圆C交于两点P，Q，求|PQ|的取值范围．解 (1)设B点到x轴距离为h，则＝＝2··|A1O|·h＝a·h，易知当线段AB在y轴时，hmax＝|BO|＝c，∴＝a·c＝2，∵e＝＝，∴a＝2c，∴a＝2，c＝1，b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1.(2)①当直线l的斜率不存在时，求得|PQ|＝3；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，∵直线为圆的切线，∴d＝＝1，6\n∴m2＝k2＋1，联立得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，判别式Δ＝48(3k2＋2)>0，由根与系数的关系得∴弦长|PQ|＝|x1－x2|＝，令t＝4k2＋3≥3，则|PQ|＝·∈.综上，|PQ|∈.3．(2022·江西省重点中学协作体联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴为MN，点P(4,0)满足·＝15.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线l与椭圆交于点A，B，是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)·＝(－4，b)·(－4，－b)＝16－b2＝15，所以b＝1，又＝＝，所以a2＝4，从而椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当l不为x轴时，设l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立l与C的方程可得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝，·＋λ·＝x1x2＋y1y2＋λ[(x1－4)(x2－4)＋y1y2]＝(1＋λ)(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋166\n＝＋16.因为·＋λ·为定值，所以＝，解得λ＝，此时定值为.当l为x轴时，A(－2,0)，B(2,0)．·＋λ·＝－4＋·12＝.综上，存在λ＝，使得·＋λ·为定值.4．(2022·宿州质检)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若经过点P(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在直线l0：x＝x0(x0>2)，使得A，B到直线l0的距离dA，dB满足＝恒成立，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵＝，∴c＝a，又∵4＝4，∴a2＋b2＝5，由b2＝a2－c2＝a2，解得a＝2，b＝1，c＝.∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l0为任意的x＝x0(x0>2)都满足要求；当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨令x1>1>x2)，则dA＝x0－x1，dB＝x0－x2，|PA|＝(x1－1)，|PB|＝(1－x2)，6\n∵＝，∴＝＝，解得x0＝.由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，x0＝＝4.综上可知，存在直线l0：x＝4，使得A，B到直线l0的距离dA，dB满足＝恒成立．5．(2022·四省大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，过直线l：x＝2左侧的动点P作PH⊥l于点H，∠HPF的角平分线交x轴于点M，且|PH|＝|MF|，记动点P的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)过点F作直线m交曲线Γ于A，B两点，点C在l上，且BC∥x轴，试问：直线AC是否恒过定点？请说明理由．解 (1)设P(x，y)，由题意可知|MF|＝|PF|，所以＝＝，即＝，化简整理得＋y2＝1，即曲线Γ的方程为＋y2＝1.(2)由已知可得直线m的斜率不为0，∴可设直线m的方程为x＝ny＋1，联立消去x，得(n2＋2)y2＋2ny－1＝0，Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(2，y2)，6\n则y1＋y2＝－，y1y2＝－，x1＝ny1＋1，∴直线AC的斜率为k＝，直线AC的方程为y－y2＝(x－2)，即y＝，又＝＝＝，∴直线AC的方程为y＝＝，∴直线AC过定点N.6
