(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2022·烟台模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点在椭圆上，过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A(－2,0)作两条相交直线l1，l2，l1与椭圆交于P，Q两点(点P在点Q的上方)，l2与椭圆交于M，N两点(点M在点N的上方)，若直线l1的斜率为－，S△MAP＝S△NAQ，求直线l2的斜率．解 (1)由已知得解得a＝6，b＝1.故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由题设可知：直线l1的方程为x＝－7y－2.联立整理得85y2＋28y－32＝0.yP＝，yQ＝－.∴＝＝＝.设∠MAP＝∠QAN＝θ，∵S△MAP＝S△NAQ，∴|AM||AP|sinθ＝×|AN||AQ|sinθ，即＝×＝×＝.设直线l2的方程为x＝my－2(m≠0)，将x＝my－2代入＋y2＝1，得(m2＋36)y2－4my－32＝0.①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，6\n则y1＋y2＝，y1y2＝－.又∵y1＝－y2，∴－y2＋y2＝，－y＝－，∴y2＝－，y＝，∴2＝，解得m2＝4，∴m＝±2，此时①式的判别式大于零．故直线l2的斜率为±.2．(2022·南昌模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点分别是F1，F2，点E在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M，N，使得＝2，求以F1P为直径的圆面积的取值范围．解 (1)由已知，得半焦距c＝，2a＝|EF1|＋|EF2|＝＋＝4，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝8－2＝6，所以椭圆C的方程是＋＝1.(2)设点P的坐标为(0，t)，当直线MN斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t＝±.当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝2得x1＝－2x2，①联立6\n得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，由题意，得Δ＝64k2t2－4(3＋4k2)(4t2－24)>0，整理得t2<8k2＋6，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1·x2＝，②由①②，消去x1，x2得k2＝，由解得<t2<6，综上≤t2<6，又因为以F1P为直径的圆面积S＝π·，所以S的取值范围是.3．(2022·湘潭模拟)已知点A是抛物线C：x2＝2py上一点，且A到C的焦点的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)若P是C上一动点，且P不在直线l：y＝2x＋9y0上，l交C于E，F两点，过P作直线垂直于x轴且交l于点M，过P作l的垂线，垂足为N.证明：＝|EF|.(1)解 依题意得∴＋＝，∵p>，∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明 由(1)知，y0＝，联立得4x2－16x－9＝0，解得x1＝－，x2＝，∴|EF|＝＝5.6\n设P，则M的横坐标为m，易知A在l上，则|AM|＝.由题意可知直线PN的方程为y－＝－(x－m)，与y＝2x＋联立可得xN＝，所以|AN|＝＝，则＝5，故＝|EF|.4．(2022·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A，B是椭圆与x轴的两个交点，M为椭圆C的上顶点，设直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，k1k2＝－.(1)求椭圆C的离心率；(2)设直线l与x轴交于点D(－，0)，交椭圆于P，Q两点，且满足＝3，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．解 (1)M(0，b)，A(－a,0)，B(a,0)，k1＝，k2＝－，k1k2＝－·＝－＝－，e＝＝.(2)由(1)知e＝＝，得a2＝3c2，b2＝2c2，可设椭圆C的方程为2x2＋3y2＝6c2，设直线l的方程为x＝my－，由得(2m2＋3)y2－4my＋6－6c2＝0，因为直线l与椭圆C相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，所以Δ＝48m2－4(2m2＋3)(6－6c2)>0，6\n由根与系数的关系得，y1＋y2＝，y1y2＝.又＝3，所以y1＝－3y2，代入上述两式得6－6c2＝－，所以S△OPQ＝|OD||y1－y2|＝＝＝≤，当且仅当m2＝时，等号成立，此时c2＝，代入Δ，此时Δ>0成立，所以椭圆C的方程为＋＝1.5．(2022·天津市部分区模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线y＝k(x－1)(k>0)与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点．(ⅰ)若＝，求k的值；(ⅱ)若点Q的坐标为，求证：·为定值．(1)解 因为＋＝1(a>b>0)满足a2＝b2＋c2，又离心率为，所以＝，即a2＝2c2，代入a2＝b2＋c2，得b2＝c2.又椭圆C的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2，即×b×2c＝2，即bc＝2，b2c2＝4，以上各式联立解得a2＝4，b2＝2，则椭圆C的方程为＋＝1.(2)(ⅰ)解 直线y＝k(x－1)与x轴交点为M(1,0)，与y轴交点为N(0，－k)，联立消去y得，6\n(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，Δ＝16k4－4(1＋2k2)(2k2－4)＝24k2＋16>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，又＝(x2－1，y2)，＝(－x1，－k－y1)，由＝，得x1＋x2＝＝1，解得k＝±，由k>0，得k＝.(ⅱ)证明 由(ⅰ)知x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝·＝＋y1y2＝＋k2(x1－1)(x2－1)，＝(1＋k2)＋＋k2＋，＝＋，＝＋＝－4＋＝－，为定值，所以·为定值．6
