四、电学计算题(20分)(2022·天津理综·12)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动．真空中存在着如图17所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d.电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里；电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射．图17(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sinθn；(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之．规范解析(1)粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功．由动能定理，有2qEd＝mv①由①式解得v2＝2②粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有qv2B＝m③由②③式解得r2＝④(2)设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn7\n(各量的下标均代表粒子所在层数，下同)．nqEd＝mv⑤qvnB＝m⑥设粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有甲vn－1sinθn－1＝vnsinαn⑦由图甲看出rnsinθn－rnsinαn＝d⑧由⑥⑦⑧式得rnsinθn－rn－1sinθn－1＝d⑨由⑨式看出r1sinθ1，r2sinθ2，…，rnsinθn为一等差数列，公差为d，可得rnsinθn＝r1sinθ1＋(n－1)d⑩乙当n＝1时，由图乙看出r1sinθ1＝d⑪由⑤⑥⑩⑪式得sinθn＝B⑫(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则7\nθn＝⑬sinθn＝1⑭在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为，假设能穿出第n层磁场右侧边界，粒子穿出时的速度方向与水平方向的夹角为θn′，由于＞⑮则导致sinθn′＞1⑯说明θn′不存在，即原假设不成立．所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界．⑰答案 (1)2 (2)B(3)见解析评分细则1．第(1)问6分，①③式各2分，②④式各1分．2．第(2)问8分，⑤至⑫式各1分，⑧⑪式要有画图表达，不能直接得出．3．第(3)问6分，⑬至⑯式各1分，⑰式2分．4．有其他解法得出正确结果的，参照答案酌情给分．[答题规则]1．审题要规范：第(1)问是带电粒子在电场中的匀加速运动，牛顿第二定律结合运动学公式或动能定理的方法均可；第(2)问粒子从第n层磁场右侧边界穿出时的情景，要注意数学知识在处理物理问题中的应用；第(3)问论证：若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，运用假设思想．2．思维要规范：本题的第(2)问是典型的粒子在磁场中运动的问题，要熟练掌握这类问题的“找圆心，求半径，求时间”的基本处理方法．3．解答要规范：书写物理方程要有理有据，粒子在磁场中运动的基本方程有qvB＝m，T＝，t＝T，注意半径公式要推导；多个相同的物理量要注意区分，如r1、rn7\n等；在运动过程比较复杂的情况下，要尽量分步列方程，以防由于写综合方程，易出错误而导致不得分；几何关系往往是解题的关键所在，一定要突出书写；画出运动轨迹图虽然没有分数，有时会使问题豁然开朗，画图一定要规范；在时间比较紧张的情况下，要尽量根据题设条件写出相关的方程，力争能得步骤分，一定不要留空白．1．(18分)(2022·贵州六校二模)如图18所示，S为一电子发射枪，可以连续发射电子束，发射出来的电子初速度可视为0，电子经过平行板A、B之间的加速电场加速后，从O点沿x轴正方向进入xOy平面内，在第一象限内沿x、y轴各放一块平面荧光屏，两屏的交点为O，已知在y>0、0<x<a的范围内有垂直纸面向外的匀强磁场，在y>0、x>a的区域有垂直纸面向里的匀强磁场，大小均为B.已知给平行板AB提供直流电压的电源E可以给平行板AB提供0～U之间的各类数值的电压，现调节电源E的输出电压，从0调到最大值的过程中发现当AB间的电压为U时，x轴上开始出现荧光．(不计电子的重力)试求：图18(1)当电源输出电压调至U和U时，进入磁场的电子运动半径之比r1∶r2；(2)两荧光屏上的发光亮线的范围．2．(20分)(2022·福建理综·22)如图19，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动．A、C两点间距离为h，重力加速度为g.7\n图19(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC；(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf；(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点．已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vP.答案精析四、电学计算题规范体验1．(1)∶2 (2)2a≤x≤2a＋a 0<y≤2a7\n解析 (1)设电子的质量为m，电荷量为q，经过U和U的电压加速后速度分别为v1和v2，根据动能定理和牛顿第二定律有：mv＝qU①mv＝qU②qv1B＝m③qv2B＝m④由①②③④得＝⑤(2)由题意可知经加速电压为U加速的电子打在y轴最高点，此时r1＝a，y轴上的发光范围为0<y≤2a⑥当加速电压调至U时，越过磁场边界的电子与边界线相切打在x轴的x＝2a处⑦当加速电压调至最大值U时，此时飞出的电子打在x轴最远处，此时运动半径r2＝a，由数学知识可知，α＝60°，O1O2＝2r2故O2恰好在x轴上，所以电子垂直打在x轴上：OP＝2a＋a⑧故在x轴上的发光范围：2a≤x≤2a＋a⑨评分标准：①②③④各1分，⑤⑨各2分，⑥⑦各3分，⑧4分．2．(1) (2)mgh－ (3)解析 (1)小滑块沿MN运动过程，水平方向受力满足qvB＋N＝qE①小滑块在C点离开MN时N＝0②解得vC＝③7\n(2)由动能定理mgh－Wf＝mv－0④解得Wf＝mgh－⑤(3)如图，小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直．撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，等效加速度为g′g′＝⑥且v＝v＋g′2t2⑦解得vP＝⑧评分标准：①④⑥⑦各3分，②③⑤⑧各2分．7
