第2讲 不等式及线性规划一、选择题1.已知x＞－1，则函数y＝x＋的最小值为( )A.－1B.0C.1D.2解析 ∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴y＝x＋＝(x＋1)＋－1，≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时取等号.答案 C2.(2022·成都模拟)若点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值是( )A.3B.4C.7D.12解析 因为点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，所以m，n∈R＋，且＋＝1，所以·≤，所以·≤＝，即mn≤3，所以mn的最大值为3.答案 A3.(2022·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为( )A.7B.8C.9D.14解析 作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分，作直线l：3x＋y＝0，平移直线l可知，经过点A时，z＝3x＋y取得最大值，由得A(2，3)，故zmax＝3×2＋3＝9.选C.答案 C5\n4.已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号).又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥，而≤＝2，∴当且仅当x＝2y时，＝2.∴λ的最小值为2.答案 B5.(2022·四川卷)设实数x，y满足则xy的最大值为( )A.B.C.12D.16解析 xy＝×2xy≤≤＝，当且仅当x＝，y＝5时，等号成立，把x＝，y＝5代入约束条件，满足.故xy的最大值为.答案 A二、填空题6.(2022·江苏卷)不等式＜4的解集为________.解析 不等式＜4⇔x2－x＜2⇔－1＜x＜2，故原不等式的解集为(－1，2).答案 (－1，2)7.(2022·北京卷)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为________.解析 z＝2x＋3y，化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋在点A(2，1)处时，z取最大值，z＝2×2＋3＝7.5\n答案 78.(2022·重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________.解析 ∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，则＋≤3，即＋最大值为3.答案 3三、解答题9.已知函数f(x)＝.(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围.解 (1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0.由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号.由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.10.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.5\n解 (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.11.已知函数f(x)＝ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2.(1)证明：a＞0；(2)若z＝a＋2b，求z的取值范围.(1)证明 求函数f(x)的导数f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.由函数f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，知x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2).当x＜x1时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，由x－x1＜0，x－x2＜0得a＞0.(2)解 在题设下，0＜x1＜1＜x2＜2等价于即化简得此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线：2－b＝0，a－3b＋2＝0，4a－5b＋2＝0所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为A5\n，B(2，2)，C(4，2).z在这三点的值依次为，6，8.所以z的取值范围为.5
