第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2022·长沙模拟)若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )A.B.C.D.解析 由题意知抛物线的焦点为F，AB垂直于x轴，设与抛物线的一个交点A(x0，)，代入抛物线方程可解得x0＝1，即AB直线方程为x＝1，所以焦点F到直线AB的距离为.答案 A2.已知A，B，P是双曲线－＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.解析 设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(－x1，－y1)，因为A，P在双曲线上，所以两式相减，得kPAkPB＝＝，所以e2＝＝，故e＝.答案 D3.(2022·四川卷)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )A.B.2C.6D.4解析 右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，∴y＝±2，∴A(2，2)，B(2，－2)，∴|AB|＝4.6\n答案 D4.(2022·唐山模拟)已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )A.2B.2C.8D.2解析 根据已知条件得c＝，则点在椭圆＋＝1(m＞0)上，∴＋＝1，可得m＝2.答案 B5.(2022·湖州一模)已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A.B.＋1C.＋1D.解析 依题意，得F(p，0)，因为AF⊥x轴，设A(p，y)，y>0，y2＝4p2，所以y＝2p.所以A(p，2p).又点A在双曲线上，所以－＝1.又因为c＝p，所以－＝1，化简，得c4－6a2c2＋a4＝0，即－6＋1＝0.所以e2＝3＋2，e＝＋1.答案 B二、填空题6.已知直线l过椭圆8x2＋9y2＝72的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，则弦|MN|的长为________.解析 由得11x2－18x－9＝0.由根与系数的关系，得xM＋xN＝，xM·xN＝－.由弦长公式|MN|＝|xM－xN|＝·＝＝.答案 7.(2022·南阳模拟)直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是________.解析 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，6\n由消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，由题意得∴即k＝2.答案 28.过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________.解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴＋＝0，∴＝－·.∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－＝－，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.答案 三、解答题9.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0，4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.解 (1)将(0，4)代入C的方程得＝1，∴b＝4.又由e＝＝，得＝，即1－＝，6\n∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3).设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝，x2＝.设线段AB的中点坐标为(x′，y′)，则x′＝＝，y′＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为.10.(2022·福建卷)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.法一 (1)解 由抛物线的定义得|AF|＝2＋.因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明 因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1).由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1，0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－.所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.法二 (1)解 同法一.6\n(2)证明 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1).由得2x2－5x＋2＝0.解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1，0)，故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0.从而r＝＝.又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0.所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.11.(2022·济南模拟)已知椭圆T：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，A，B是椭圆T上两点，N(3，1)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆T相交于C，D两点.(1)求直线AB的方程；(2)是否存在这样的椭圆，使得以CD为直径的圆过原点O？若存在，求出该椭圆方程；若不存在，请说明理由.解 (1)离心率e＝，椭圆T：x2＋3y2＝a2(a＞0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，设直线AB的方程为y＝k(x－3)＋1，代入x2＋3y2＝a2，整理得(3k2＋1)x2－6k(3k－1)x＋3(3k－1)2－a2＝0.①Δ＝4[a2(3k2＋1)－3(3k－1)2]＞0，②x1＋x2＝，由N(3，1)是线段AB的中点，得＝3.解得k＝－1，代入②得a2＞12，直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.(2)因为CD垂直平分AB，所以直线CD的方程为y－1＝x－3，即x－y－2＝0，代入椭圆方程，整理得4x2－12x＋12－a2＝0.6\n又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，所以x3＋x4＝3，x3x4＝，y3y4＝(x3－2)(x4－2)＝.假设存在这样的椭圆使得以CD为直径的圆过原点O，则x3x4＋y3y4＝0，得a2＝8，又a2＞12，故不存在这样的椭圆.6
