12＋4分项练9 立体几何1．已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是( )A．必存在平面α，使得a∥α，b∥αB．必存在平面α，使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α，使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α，使得a，b与α的距离相等答案 C解析 由a，b为异面直线知，在A中，在空间中任取一点O(不在a，b上)，过点O分别作a，b的平行线，则由过点O的a，b的平行线确定一个平面α，使得a∥α，b∥α，故A正确；在B中，平移b至b′与a相交，因而确定一个平面α，在α上作a，b′夹角的平分线，明显可以作出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面使得a，b′与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以．故B正确；在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α，使得a⊂α，b⊥α，故C错误；在D中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故D正确．故选C.2．(2022·泸州模拟)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β答案 D解析 由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，8\n在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质得a∥β，故D正确．3．(2022·福建省厦门外国语学校模拟)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正(主)视图是( )答案 A解析 取DD1的中点F，连接AF，C1F，平面AFC1E为截面．如图所示，所以上半部分的正(主)视图，如A选项所示，故选A.4．(2022·昆明模拟)一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正(主)视图和侧(左)视图都是由三个边长为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为( )A．13πB．12πC．11πD．2π答案 B8\n解析 由三视图可知，该几何体是一个圆台，内部挖去一个圆锥．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，圆锥底面为圆台的上底面，顶点为圆台底面的圆心．圆台侧面积为π(1＋2)×2＝6π，下底面面积为π×22＝4π，圆锥的侧面积为π×1×2＝2π.所以该几何体的表面积为6π＋4π＋2π＝12π.5．(2022·洛阳统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.B.C.D．8答案 A解析 根据题中所给的几何体的三视图，可以得到该几何体是由正方体切割而成的，记正方体为ABCD－A1B1C1D1，取A1D1的中点M，取D1C1的中点N，该几何体就是正方体切去一个三棱锥D－MND1之后剩余的部分，故其体积为V＝23－××1×1×2＝.6．现有编号为①，②，③的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是( )A．①B．①②C．②③D．①②③答案 B解析 根据题意可得三个立体几何图形如图所示：由图一可得侧面ABD，ADC与底面垂直，由图二可得面ACE垂直于底面，由图三可知，无侧面与底面垂直．8\n7．(2022·漳州模拟)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，AA1＝2，则其外接球与内切球的表面积的比值为( )A.B.C.D．29答案 A解析 如图1，分别取AC，A1C1的中点G，H，连接GH，取GH的中点O，连接OA，由题意，得A1B＋B1C＝A1C，即△A1B1C1为直角三角形，则点O为外接球的球心，OA为半径，则R＝OA＝＝；如图2，作三棱柱的中截面，则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心，中截面三角形的内切圆的半径r＝＝1，也是内切球的半径，因为R∶r＝∶2，则其外接球与内切球的表面积的比值为＝.8．(2022·南昌模拟)已知E，F，H，G分别是四面体ABCD棱AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝EB，BF＝FC，CH＝2HD，AG＝2GD，则下列说法错误的是( )A．AC∥平面EFHB．BD∥平面EFGC．直线EG，FH，BD相交于同一点8\nD．FE∥GH答案 B解析 对于A，EA＝EB，BF＝FC，CH＝2HD，AG＝2GD，可得到GH∥AC，EF∥AC，又AC⊄平面EFH，故AC∥平面EFH，选项A正确．对于B，因为BD和FH不平行，而且两条直线在同一平面内，故得到两直线相交，可得到BD与平面EFG是相交的关系．选项B不正确．对于C，由A选项，结合平行线的传递性得到GH∥EF，则E，F，G，H四点共面，且为梯形，延长EG和FH相交于点M，则点M在FH的延长线上，故在面BCD内，同理M点也在平面ABD内，故M应该在两个平面的交线上，即在直线BD上，故得证．选项C正确．对于D，由选项A，C可知选项D正确．9.如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案 D解析 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确．10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠BCA＝90°，∠BAC＝60°，AC＝4，E为AA1的中点，点F为BE的中点，点H在线段CA1上，且A1H＝3HC，则线段FH的长为( )A．2B．4C.D．3答案 C8\n解析 由题意知，AB＝8，过点F作FD∥AB交AA1于点D，连接DH，则D为AE中点，FD＝AB＝4，又＝＝3，所以DH∥AC，∠FDH＝60°，DH＝AC＝3，由余弦定理得FH＝＝，故选C.11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈答案 D解析 根据球的体积公式V＝πR3＝π3，得d＝，设选项中的常数为，则π＝，选项A代入得π＝＝3.1，选项B代入得π＝＝3，选项C代入得π＝＝3.2，选项D代入得π＝＝3.142857，D选项更接近π的真实值，故选D.12．已知四边形ABCD为边长等于的正方形，PA⊥平面ABCD，QC∥PA，且异面直线QD与PA所成的角为30°，则四棱锥Q－ABCD外接球的表面积等于( )A.πB．25πC.πD.π答案 B8\n解析 因为PA⊥平面ABCD，QC∥PA，所以QC⊥平面ABCD，且异面直线QD与PA所成的角即∠DQC，所以∠DQC＝30°，又CD＝，所以QC＝.由于CB，CQ，CD两两垂直，所以四棱锥Q－ABCD的外接球的直径就是以CB，CQ，CD为棱的长方体的体对角线，设四棱锥Q－ABCD外接球的半径为R，则R＝，所以外接球的表面积为4π·2＝25π.13.如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．答案 2解析 因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在Rt△PAC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.14.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．答案 60°解析 因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则∠A1CB就是异面直线A1C与B1C1所成的角，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则BA1＝＝，CA1＝＝，所以△BCA1是正三角形，故异面直线所成的角为60°.15．(2022·南昌模拟)已知正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底边长分别为3，4，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O的球面上，且球心O在正三棱台ABC－A1B1C1内，则球O8\n的表面积为________．答案 100π解析 因为正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底边长分别为3，4，取正三棱台的上、下底面的中心分别为E，E1，则正三棱台的高为h＝EE1＝7，在上下底面的等边三角形中，可得AE＝AD＝3，A1E1＝A1D1＝4，则球心O在直线EE1上，且半径为R＝OA＝OA1，所以＝，且OE＋OE1＝7，解得OE＝4，所以R＝＝5，所以球O的表面积为S＝4πR2＝100π.16．已知三棱锥O—ABC中，A，B，C三点均在球心为O的球面上，且AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，若球O的体积为，则三棱锥O—ABC的体积是________．答案 解析 三棱锥O—ABC中，A，B，C三点均在球心为O的球面上，且AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，则AC＝，∴S△ABC＝×1×1×sin120°＝，设球半径为R，由球的体积V1＝πR3＝，解得R＝4.设△ABC外接圆的圆心为G，∴外接圆的半径为GA＝＝1，∴OG＝＝＝，∴三棱锥O—ABC的体积为V2＝S△ABC·OG＝××＝.8
