12＋4分项练6 数 列1．(2022·烟台模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＝5，S9＝27，则a20等于( )A．17B．18C．19D．20答案 B解析 由等差数列的前n项和公式可知S9＝＝9a5＝27，解得a5＝3，又由d＝＝＝1，所以由等差数列的通项公式可得a20＝a5＋15d＝3＋15×1＝18.2．(2022·大连模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝3，S4＝15，则S6等于( )A．27B．31C．63D．75答案 C解析 由题意得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，所以3,12，S6－15成等比数列，所以122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.3．(2022·湛江模拟)已知递增的等比数列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于( )A．93B．189C.D．378答案 B解析 设数列的公比为q，由题意可知，q>1，9\n且2＝a1＋1＋a3，即2×＝＋1＋6q，整理可得2q2－5q＋2＝0，则q＝2，则a1＝＝3，该数列的前6项和S6＝＝189.4．(2022·莆田质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为( )A．6B．7C．8D．13答案 B解析 根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7.5．(2022·三明质检)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S8等于( )A．255B．256C．510D．511答案 C解析 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，据此可得a1＝2，当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，两式作差可得an＝2an－2an－1，则an＝2an－1，据此可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S8＝＝29－2＝512－2＝510.6．已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝2－2·(－1)n，n∈N*，则S2017的值为( )A．2016×1010－1B．1009×2017C．2017×1010－1D．1009×2016答案 C解析 由递推公式，可得当n为奇数时，an＋2－an＝4，数列{an}的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列，当n为偶数时，an＋2－an＝0，数列{an}的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列，S2017＝(a1＋a3＋…＋a2017)＋(a2＋a4＋…＋a2016)＝1009＋×1009×1008×4＋1008×29\n＝2017×1010－1.7．(2022·南充质检)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a56等于( )A．－B．0C.D.答案 A解析 因为an＋1＝(n∈N*)，所以a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－，a6＝，…，故此数列的周期为3.所以a56＝a18×3＋2＝a2＝－.8．(2022·咸阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得( )A．三分鹿之一B．三分鹿之二C．一鹿D．一鹿、三分鹿之一答案 A解析 显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为x，则＝5，解得x＝.9．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为( )A．12B．9C．6D．18答案 D解析 因为S3－S2＝a3，所以由S2＋a2＝S3－3，得a3－a2＝3，设等比数列{an}的公比为q，则a1＝，由于{an}的各项为正数，所以q>1.a4＋3a2＝a1q3＋3a1q＝a1q(q2＋3)＝q(q2＋3)9\n＝＝3≥18，当且仅当q－1＝2，即q＝3时，a4＋3a2取得最小值18.10．已知数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{cn}，令xn＝，则的取值范围为( )A．[1,2)B．(1，e)C.D.答案 C解析 由题意知，{an}，{bn}的共同项为2,8,32,128，…，故cn＝22n－1.由xn＝，得＝1＋，＝….令Fn＝，则当n≥2时，＝>1，故数列{Fn}是递增数列，∴≥.∵当x>0时，ln(1＋x)<x，∴ln<，则ln＝ln＋ln＋…＋ln<＋＋…＋＝＋＋…＋9\n＝<＝，∴…<，故≤<，故选C.11．(2022·宁德质检)记Sn为数列{an}的前n项和，满足a1＝，2an＋1＋3Sn＝3(n∈N*)，若Sn＋≤M对任意的n∈N*恒成立，则实数M的最小值为( )A．2B.C.D．4答案 C解析 由a1＝，2an＋1＋3Sn＝3(n∈N*)，得2an＋3Sn－1＝3，n≥2.两式相减，可得2an＋1－2an＋3an＝0，即＝－＝q.∵a1＝，∴2a2＋3S1＝3，即2a2＋3a1＝3，∴a2＝－，∴＝－，∴an＝n－1.则Sn＝＝1－n.∴当n＝1时，Sn取最大值；当n＝2时，Sn取最小值.要使Sn＋≤M对任意的n∈N*恒成立．根据对勾函数的性质，当Sn＝时，9\nSn＋取得最大值，∴M≥，∴实数M的最小值为.12．(2022·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知数列{an}满足当2k－1－1<n≤2k－1(k∈N*，n∈N*)时，an＝，若数列{an}的前n项和为Sn，则满足Sn>10的n的最小值为( )A．59B．58C．57D．60答案 B解析 由题意可得，当k＝1时，20－1<n≤21－1，即n＝1，则an＝，所以S1＝；当k＝2时，21－1<n≤22－1，即1<n≤3，n∈N*，则an＝，所以S3－S1＝＋＝1；当k＝3时，22－1<n≤23－1，即3<n≤7，n∈N*，则an＝，所以S7－S3＝4×＝；当k＝4时，23－1<n≤24－1，即7<n≤15，n∈N*，则an＝，所以S15－S7＝8×＝2；当k＝5时，24－1<n≤25－1，即15<n≤31，n∈N*，则an＝，所以S31－S15＝16×＝；当k＝6时，25－1<n≤26－1，即31<n≤63，n∈N*，则an＝，所以S63－S31＝32×＝3，则S31＝＋1＋＋2＋＝7.5，设从a32到a63中有m项，则m项的和为m×＝，令>2.5，解得m>，所以当Sn>10时，n>57，所以n的最小值为58.9\n13．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋r，则a3－r＝________，数列的最大项是第k项，则k＝________.答案 19 4解析 等比数列前n项和公式具有的特征为Sn＝aqn－a，据此可知，r＝－1，则Sn＝3n－1，a3＝S3－S2＝－＝18，a3－r＝19.令bn＝nn，且bn>0，则＝·，由＝·>1可得n2<10，由＝·<1可得n2>10，据此可得，数列中的项满足b1<b2<b3<b4，且b4>b5>b6>b7>b8>…，则k＝4.14．(2022·河南省南阳市第一中学模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn2－2n，n∈N*，bn＝，若数列{bn}是公差为2的等差数列，则数列{an}的通项公式为________．答案 an＝3n－解析 由Sn＝pn2－2n，n∈N*可知，当n＝1时，a1＝S1＝p－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2pn－p－2，a1＝p－2符合上式，所以对任意的n∈N*均有an＝2pn－p－2，则an＋1－an＝2p，因而数列{an}是公差为2p的等差数列，a2＝3p－2，b1＝a1＝p－2，b2＝＝，则b2－b1＝－(p－2)＝2，得2p＝3，p＝，a1＝－，9\n所以数列{an}的通项公式为an＝－＋(n－1)×3＝3n－，n∈N*.15．(2022·大连模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2＝2，a3n＝2n－2an，a3n＋1＝an＋1，a3n＋2＝an－n，则S30＝________.(用数字作答)答案 75解析 ∵a3n＝2n－2an，a3n＋1＝an＋1，a3n＋2＝an－n，a1＝1，a2＝2，∴a3＝2－2a1＝2－2＝0，a4＝a1＋1＝2，a5＝a1－1＝0，∴a3＋a4＋a5＝2.∵a3n＝2n－2an，a3n＋1＝an＋1，a3n＋2＝an－n，∴把上面三个式子相加得a3n＋a3n＋1＋a3n＋2＝n＋1，∴a10＝a3×3＋1＝a3＋1＝0＋1＝1，∴a30＝a3×10＝2×10－2a10＝18.∴S30＝a1＋a2＋(a3＋a4＋a5)＋(a6＋a7＋a8)＋…＋(a27＋a28＋a29)＋a30＝1＋2＋＋18＝75.16．数列{an}满足a1＝，an＋1＝a－an＋1(n∈N*)，则＋＋…＋的整数部分是________．答案 2解析 因为a1＝，an＋1＝a－an＋1(n∈N*)，所以an＋1－an＝(an－1)2>0，所以an＋1>an，数列{an}单调递增，所以an＋1－1＝an(an－1)>0，所以＝＝－，所以＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－，9\n所以m＝S2017＝3－，因为a1＝，所以a2＝2－＋1＝，a3＝2－＋1＝，a4＝2－＋1>2，…，所以a2018>a2017>a2016>…>a4>2，所以a2018－1>1，所以0<<1，所以2<3－<3，因此m的整数部分是2.9
