12＋4分项练7 计数原理1．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案有( )A．48种B．72种C．96种D．216种答案 C解析 按照以下顺序涂色，A：C→B：C→D：C→C：C→E：C→F：C，所以由分步乘法计数原理得总的方案数为C·C·C·C·C＝96.2．(2022·钦州质检)二项式n的展开式前三项系数成等差数列，则n等于( )A．6B．8C．7D．9答案 B解析 展开式的通项为Tk＋1＝kC，其前三项的系数分别是1，，C，6\n据已知得n＝1＋，解得n＝8(n＝1舍弃)．3．(2022·重庆质检)山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A，B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为( )A．12B．24C．36D．48答案 B解析 因为A，B两型号的种子试种方法数为2×2＝4，所以一共有4A＝24(种)试种方法．4．(2022·湖南省岳阳市第一中学模拟)岳阳高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票口进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有( )A．24种B．36种C．42种D．60种答案 D解析 若三名同学从3个不同的检票通道口进站，则有A＝6(种)；若三名同学从2个不同的检票通道口进站，则有CCAA＝36(种)；若三名同学从1个不同的检票通道口进站，则有CA＝18(种)．综上，这3个同学的不同进站方式有60种．5．二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( )A．7B．5C．4D．3答案 A解析 二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则n＝20，20展开式的通项为6\nTk＋1＝C20－kk＝20－kC，展开式的有理项满足20－k(k∈N)的值为整数，据此可得，k可能的取值为0,3,6,9,12,15,18，共有7个．6．(2022·大同、阳泉质检)若二项式(3－x)n展开式中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则＋的最小值为( )A．2B.C.D.答案 B解析 令x＝1，可得二项式(3－x)n(n∈N*)展开式中所有项的系数之和为a＝2n，令x＝－1，可得(3－x)n展开式中所有项的系数的绝对值之和为b＝4n，则＋＝＋＝2n＋，故当n＝1时，＋取得最小值.7．(2022·蚌埠质检)已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2等于( )A．18B．24C．36D．56答案 B解析 (2x－1)4＝4，故a2(x－1)2＝C[2(x－1)]2＝4C(x－1)2，所以a2＝4C＝24.8．(2022·泉州质检)李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到“东亚文化之都——泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有( )A．16种B．18种C．20种D．24种答案 C解析 任意相邻两天组合一起，包括①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，一共有6种情况，若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，故若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×4＋4×3＝20(种)．9．在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)11的展开式中，x2的系数是( )A．220B．165C．66D．556\n答案 A解析 展开式中x2的系数为C＋C＋C＋C＋…＋C，由组合数的性质得，C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C…＝C＝＝220.10．(2022·上饶模拟)若(x2＋2)5展开式中x2项的系数是40，则实数m的值为( )A.B．2C．±D．±2答案 C解析 (x2＋2)5展开式中x2项是由5展开式中常数项与的二次项之积和5展开式中二次项与的常数项之积组成的．∵5的展开式的通项为Tk＋1＝C·5－k·(－mx)k＝(－m)kCx3k－10，令3k－10＝0，解得k＝，不合题意，应舍去；令3k－10＝2，解得k＝4，∴(x2＋2)5的展开式中x2项的系数为2·(－m)4C＝40，即m4＝4，解得m＝±.11．(2022·甘肃省西北师范大学附属中学质检)某大型医疗器械展览将于2022年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( )A．540B．300C．180D．150答案 D解析 将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种，分成1,1,3时，有C·A种分法；6\n分成2,2,1时，有·A种分法，由分类加法计数原理得，共有C·A＋·A＝150(种)不同的分法．12．九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为( )A．96B．72C．48D．24答案 C解析 第一类，先选择一个小品插入到2个歌曲之间，另一个小品放在歌曲的两边，这时形成了5个空，将相声插入其中一个，故有AAAA＝40(种)；第二类，相声插入歌曲之间，再把小品插入歌曲两边，有AA＝4(种)；第三类，相声插入小品之间，再把歌曲插入小品两边，有AA＝4(种)，根据分类加法计数原理可得，共有40＋4＋4＝48(种)．13．(2022·天津河东区模拟)一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有________种．(用数字作答)答案 36解析 根据题意，分2步完成：①将3名女生全排列，有A＝6(种)顺序，②排好后，有4个空位，男生不排第一个演讲，除去第一个空位，有3个空位可用，在这3个空位中任选2个，安排2名男生，有A＝6(种)情况，则有6×6＝36(种)符合题意的排序方式．14．多项式5的展开式中，含x2的项的系数是________；常数项是________．答案 200 144解析 根据题意，5的展开式的通项为Tk＋1＝C25－k·xk.∴当k＝2时，有T3＝C23·x2＝80x2；当k＝3时，有T4＝C22·x3＝40x3；当k＝0时，有T1＝C25·x0＝32；6\n当k＝1时，有T2＝C24·x1＝80x.∴多项式5的展开式中，含x2的项为2×80x2＋·40x3＝200x2，即含x2的项的系数是200；常数项是2×32＋·80x＝144.15．(2022·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)若(1－2x)2018＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．答案 －1解析 在(1－2x)2018＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018(x∈R)中，令x＝0时，可得(1－2×0)2018＝a0，即a0＝1，令x＝时，可得2018＝a0＋＋＋…＋，即a0＋＋＋…＋＝0，又a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.16．(2022·赣州模拟)(2x－1)n展开式中二项式系数的和为32，则(2x2＋x－1)n展开式中x3的系数为________．答案 －30解析 由(2x－1)n展开式中二项式系数的和为32，可得2n＝32，解得n＝5，(2x2＋x－1)5＝(x＋1)5(2x－1)5，根据二项式定理可以求得(x＋1)5的展开式中，三次项、二次项、一次项的系数和常数项分别是10,10,5,1，(2x－1)5的展开式中，常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是－1,10，－40,80，所以展开式中x3项的系数为－10＋100－200＋80＝－30.6
