(四)立体几何1．(2022·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥PA，PB＝PA，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝8，BC＝6，CD＝10，M是PA的中点．(1)求证：BM∥平面PCD；(2)求三棱锥B－CDM的体积．(1)证明 取PD中点N，连接MN，NC，∵MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，且MN＝AD.又∵BC∥AD，且BC＝AD，∴MN∥BC，且MN＝BC，则BMNC为平行四边形，∴BM∥NC，又∵NC⊂平面PCD，MB⊄平面PCD，∴BM∥平面PCD.(2)解 过M作AB的垂线，垂足为M′，7\n又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，MM′⊂平面PAB，∴MM′⊥平面ABCD.∴MM′为三棱锥M－BCD的高，∵AB＝8，PA＝PB，∠BPA＝90°，∴△PAB边AB上的高为4，∴MM′＝2，过C作CH⊥AD交AD于点H，则CH＝AB＝8，S△BCD＝×BC×CH＝×6×8＝24，∴VB－CDM＝VM－BCD＝S△BCD×MM′＝×24×2＝16.2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.证明 (1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC，又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，所以AB⊥AF.由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.7\n3．(2022·安徽省合肥市第一中学模拟)在如图所示的几何体ACBFE中，AB＝BC，AE＝EC，D为AC的中点，EF∥DB.(1)求证：AC⊥FB；(2)若AB⊥BC，AB＝4，AE＝3，BF＝，BD＝2EF，求该几何体的体积．(1)证明 ∵EF∥BD，∴EF与BD确定平面EFBD，连接DE，∵AE＝EC，D为AC的中点，∴DE⊥AC.同理可得BD⊥AC，又∵BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面EFBD，∴AC⊥平面EFBD，∵FB⊂平面EFBD，∴AC⊥FB.(2)解 由(1)可知AC⊥平面BDEF，∴VACBFE＝VA－BDEF＋VC－BDEF＝·SBDEF·AC，∵AB＝BC，AB⊥BC，AB＝4，∴AC＝4，BD＝2，又AE＝3，∴DE＝＝1.在梯形BDEF中，取BD的中点M，连接MF，则EF∥DM且EF＝DM，∴四边形FMDE为平行四边形，∴FM∥DE且FM＝DE.又BF＝，∴BF2＝FM2＋BM2，∴FM⊥BM，S梯形BDEF＝××1＝，∴VACBFE＝××4＝4.7\n4.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD＝BC，AD＝1，∠ABC＝60°，EF∥AC，EF＝AC.(1)证明：AB⊥CF；(2)若多面体ABCDFE的体积为，求线段CF的长．(1)证明 ∵EA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EA⊥AB，作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，BH＝，得AB＝1，在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos60°＝3，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC.又AC∩EA＝A，AC，EA⊂平面ACFE，∴AB⊥平面ACFE，又∵CF⊂平面ACFE，∴AB⊥CF.(2)解 设AE＝a，作DG⊥AC于点G，由题意可知平面ACFE⊥平面ABCD，又平面ACFE∩平面ABCD＝AC，DG⊂平面ABCD，∴DG⊥平面ACFE，且DG＝，又VB－ACFE＝S梯形ACFE×AB＝×××a×1＝a，VD－ACFE＝S梯形ACFE×DG7\n＝×××a×＝a，∴V多面体ABCDFE＝VB－ACFE＋VD－ACFE＝a＝，得a＝1.连接FG，则FG⊥AC，∴CF＝＝＝.5．(2022·四川省成都市第七中学诊断)在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，CD⊥AD，平面ABCD⊥平面ADEF，AB＝AD＝1，CD＝2.(1)求证：平面EBC⊥平面EBD；(2)设M为线段EC上一点，3＝，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE？若存在，试指出点T的位置；若不存在，说明理由；(3)在(2)的条件下，求点A到平面MBC的距离．(1)证明 因为平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC.过B作BH⊥CD交CD于点H.故四边形ABHD是正方形，所以∠ADB＝45°.在△BCH中，BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°，BC＝，又∠BDC＝45°，∴∠DBC＝90°，∴BC⊥BD.∵BD∩ED＝D，BD，ED⊂平面EBD，7\n∴BC⊥平面EBD，BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD.(2)解 在线段BC上存在点T，使得MT∥平面BDE.在线段BC上取点T，使得3＝，连接MT.在△EBC中，∵＝＝，∴△CMT∽△CEB，所以MT∥EB，又MT⊄平面BDE，EB⊂平面BDE，∴MT∥平面BDE.7\n(3)解 点A到平面MBC的距离就是点A到平面EBC的距离，设点A到平面EBC的距离为h，由(1)得BC⊥EB，BE＝，BC＝，利用等积法，可得VA－EBC＝VE－ABC，即×h×××＝×1××1××sin135°，解得h＝.7
