(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2022·威海模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.(1)求p的值；(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为－，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标．解 (1)设Q(x0,4)，由抛物线定义知|QF|＝x0＋，又|QF|＝2|PQ|，即2x0＝x0＋，解得x0＝，将点Q代入抛物线方程，解得p＝4.(2)由(1)知，C的方程为y2＝8x，所以点T坐标为，设直线MN的方程为x＝my＋n，点M，N，由得y2－8my－8n＝0，Δ＝64m2＋32n>0.所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，6\n所以kMT＋kNT＝＋＝＋＝＝＝－，解得n＝m－1，所以直线MN的方程为x＋1＝m(y＋1)，恒过定点(－1，－1)．2．(2022·南昌模拟)已知动圆C过点F(1,0)，且与直线x＝－1相切．(1)求动圆圆心C的轨迹方程E；(2)已知点P(4，－4)，Q(8,4)，过点Q的直线l交曲线E于点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值，并求出此定值．解 (1)设C(x，y)，由＝，得动圆圆心C的轨迹方程E为y2＝4x，(2)依题意知直线AB的斜率不为0，设AB方程为x－8＝m(y－4)，即x＝my－4m＋8，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－4my＋16m－32＝0，且Δ>0恒成立，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝16m－32，∴kPA·kPB＝·＝·＝＝＝＝－1(定值)．3．(2022·四省名校大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，过直线l：x＝4左侧的动点P作PH⊥l于点H，∠HPF的角平分线交x轴于点M，且|PH|＝2|MF|，记动点P的轨迹为曲线C.6\n(1)求曲线C的方程；(2)过点F作直线l′交曲线C于A，B两点，设＝λ，若λ∈，求|AB|的取值范围．解 (1)设P(x，y)，由题意可知|MF|＝|PF|，所以＝＝，即＝，化简整理得＋＝1，即曲线C的方程为＋＝1.(2)由题意，得直线l′的斜率k≠0，设直线l′的方程为x＝my＋1，由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)>0恒成立，且y1＋y2＝，y1y2＝－，①又因为＝λ，所以－y1＝λy2，②联立①②，消去y1，y2，得＝，因为＝λ＋－2∈，所以0≤≤，解得0≤m2≤.又|AB|＝|y1－y2|＝＝＝4－，6\n因为4≤3m2＋4≤，所以|AB|＝4－∈.所以|AB|的取值范围是.4．(2022·合肥模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，点N在y轴上，且·＝0，设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△APQ面积的最大值．解 (1)由题意得解得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由题意可设直线PA的方程为y＝k(x＋4)，k>0，则M(0,4k)，又F(2，0)，且·＝0，所以MF⊥FN，所以直线FN的方程为y＝(x－2)，则N，联立消去y并整理得(1＋2k2)x2＋16k2x＋32k2－16＝0，解得x1＝－4，x2＝，则P，直线AN的方程为y＝－(x＋4)，6\n同理可得Q，所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点，所以△APQ的面积S＝OA·|yP－yQ|＝2·＝≤8，当且仅当2k＝，即k＝时，等号成立，所以△APQ面积的最大值为8.5．(2022·峨眉山模拟)如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.(1)解 由题意可知圆心的坐标为.∵|MN|＝3，∴r2＝2＋22＝，r＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋2＝.(2)证明 由圆C方程可得M(0,1)，N(0,4)，①当AB斜率不存在时，∠ANM＝∠BNM＝0°；②当AB斜率存在时，设直线AB方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴kAN＋kBN＝＋6\n＝＝＝0，∴kAN＋kBN＝0，综上所述，∠ANM＝∠BNM.6
