第十章第第七节模拟方法——概率的应用题组一与长度有关的几何概型1.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，那么乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.B.C.D.解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A，试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成事件A的区域长度为1min，故P(A)＝.答案：A2．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，那么此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为( )A.B.C.D.解析：正方形的面积介于36cm2与81cm2之间，所以正方形的边长介于6cm到9cm之间．线段AB的长度为12cm，那么所求概率为＝.答案：C3．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间翻开电视机看该台节目，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有________分钟的广告．解析：60×(1－)＝6分钟．答案：6题组二与面积(或体积)有关的几何概型4.(2022·辽宁高考)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )A.B．1－C.D．1－解析：对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O的距离小于等于1时，其是以O5/5\n为圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为×π×12＝π，那么满足条件的概率为：1－＝1－.答案：B5．设－1≤a≤1，－1≤b≤1，那么关于x的方程x2＋ax＋b2＝0有实根的概率是( )A.B.C.D.解析：由题知该方程有实根满足条件作平面区域如右图：由图知阴影面积为1，总的事件对应面积为正方形的面积，故概率为.答案：B6．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，假设向区域Ω上随机投一点P，那么点P落入区域A的概率为( )A.B.C.D.解析：作出两集合表示的平面区域如以下图．容易得出Ω所表示的平面区域为三角形AOB及其边界，A表示的区域为三角形OCD及其边界．容易求得D(4,2)恰为直线x=4，x-2y=0，x+y=6三线的交点．那么可得S△AOB=×6×6=18，S△OCD=×4×2=4.所以点P落在区域A的概率为答案：D7．在区域内任取一点P，那么点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为( )A.B.C.D.解析：区域为△ABC内部(含边界)，那么概率为P＝＝＝.答案：D8．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，那么使点P到三个顶点的距离至少有一个小5/5\n于1的概率是________．解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC相交出三个扇形(如以下图)，当P落在阴影局部时符合要求．∴P＝＝.答案：π9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.(1)假设a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；(2)假设a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．解：(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a，b的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即根本领件总数为12.设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为事件A，当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0有两个不相等实根的充要条件为a＞b.当a＞b时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的根本领件数为6，∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率P(A)＝＝.(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，那么试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6.设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，那么事件B所构成的区域为M＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，a＜b}，5/5\n即图中阴影局部的梯形，其面积SM＝6－×2×2＝4.由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)＝0没有实根的概率P(B)＝＝＝.题组三生活中的几何概型10.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意平掷在这个平面，那么硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.B.C.D.解析：平面被这一组平行线分割成条状区域，现对两条平行线之间的区域考虑：平行线间的距离为3cm，硬币半径为1cm，要想硬币不与两条平行线相碰，硬币中心与两条平行线的距离都应大于1cm，如图：硬币中心只有落在阴影局部(不包括边界)时，才能让硬币与两条平行线都不相碰，那么硬币中心落在阴影局部的概率为.整个平面由无数个这样的条状区域组成，故所求概率是.答案：B11．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，那么所投的点落在E中的概率是__________．解析：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝＝.答案：12．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙5/5\n两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，那么有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x－y≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影局部表示．由几何概型公式得：P(A)＝＝.故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是.5/5
