第十章第九节条件概率、事件的独立性与二项分布（理）题组一条件概率1.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，那么在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.B.C.D.解析：设事件A为“第1次抽到是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到是卡口灯泡”，那么P(A)＝，P(AB)＝×＝＝.在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为P(B|A)＝＝＝.答案：D2．设A、B为两个事件，假设事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，那么事件A发生的概率为________________．解析：由题意知，P(AB)＝，P(B|A)＝，∴P(A)＝＝＝.答案：3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，那么这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.6/6\n根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：0.72题组二相互独立事件4.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A.B.C.D.解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，，，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－××＝.答案：B5．如以下图的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，那么灯泡甲亮的概率为( )A.B.C.D.解析：理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，那么灯亮应为事件AC，且A，C，之间彼此独立，且P(A)＝P()＝P(C)＝，所以P(AC)＝P(A)·P()·P(C)＝.答案：A6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进展测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，那么P(A)＝＝.6/6\nP(B)＝＝.(2)因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P()＝P()P()＝(1－)(1－)＝，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(·)＝1－＝.题组三独立重复试验7.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A.B.C.D.解析：所求的概率为C0.62×0.4＋C0.63＝0.648＝.答案：A8．位于坐标原点的一个质点P按以下规那么移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A．()3B．C()5C．C()3D．CC()5解析：质点由原点移动到(2,3)，需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动方法有C种，而每一次移动的概率都是，所以所求的概率等于C()5.答案：B9．2022年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进展书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)假设该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解：(1)记“该考生正确做出第i道题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，那么P(Ai)＝6/6\n，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率为P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)·P()＝××＝.(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B，那么这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道题或4道题，故P(B)＝C×()3×＋C×()4＝.题组四二项分布问题10.在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，假设事件A至少发生一次的概率为，那么事件A在1次试验中出现的概率为________．解析：A至少发生一次的概率为，那么A的对立事件：事件A都不发生的概率为1－＝＝()4，所以，A在一次试验中出现的概率为1－＝.答案：11．某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：人数0～67～1213～1819～2425～3031人以上频率0.10.150.250.200.200.1(1)从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是多少？(2)全线途经10个停靠点，假设有2个以上(含2个)，乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就要考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？解：(1)每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为0.1＋0.15＋0.25＋0.20＝0.7.(2)从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为0.20＋0.20＋0.1＝0.5，途经10个停靠点，没有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为(1－)10，途经10个停靠点，只有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率C()1(1－)9.6/6\n所以，途经10个停靠点，有2个以上(含2个)停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率P＝1－(1－)10－C()1(1－)9＝1－－＝>0.9.∴该线路需要增加班次．12．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，那么中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？解：(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1.由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验．故P(A1)＝1－P()＝1－()4＝，所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，那么P(A2)＝C×()2×(1－)4－2＝，P(B2)＝C×()3×(1－)4－3＝.由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝P(A2)·P(B2)＝×＝.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1,2,3,4,5)，那么A3＝D5D4··()，6/6\n且P(Di)＝.由于各事件相互独立，故P(A3)＝P(D5)·P(D4)·P()·P()＝×××(1－×)＝.所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.6/6
