第二章第四节函数的奇偶性题组一函数的奇偶性的判定1.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，那么以下函数中为奇函数的是( )①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A.①③B.②③C.①④D.②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.答案：D2.(2022·长郡模拟)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，假设f(x＋1)是偶函数，那么实数a的值为( )A.－1B.1C.－2D.2解析：∵f(x)＝x2－ax＋4，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋2x＋1－ax－a＋4＝x2＋(2－a)x＋5－a，f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4＝x2－2x＋1－a＋ax＋4＝x2＋(a－2)x＋5－a.∵f(x＋1)是偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴a－2＝2－a，即a＝2.答案：D3.(2022·浙江高考)假设函数f(x)＝x2＋(a∈R)，那么以下结论正确的选项是( )A.∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B.∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C.∃a∈R，f(x)是偶函数D.∃a∈R，f(x)是奇函数解析：当a＝16时，f(x)＝x2＋，f′(x)＝2x－，令f′(x)＞0得x＞2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数，故A、B错.当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故C正确.D显然错误，应选C.5/5\n答案：C题组二函数奇偶性的应用4.已知函数f(x)＝ax4＋bcosx－x，且f(－3)＝7，那么f(3)的值为( )A.1B.－7C.4D.－10解析：设g(x)＝ax4＋bcosx，那么g(x)＝g(－x).由f(－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f(3)＝g(3)－3＝4－3＝1.答案：A5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，那么f(7)＝( )A.－2B.2C.－98D.98解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.应选A.答案：A6.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，那么f(5)＝( )A.0B.1C.D.5解析：由f(1)＝，对f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2).又∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1).于是f(2)＝2f(1)＝1；令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝，于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝.答案：C7.已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f()＞0＞f(－)，那么方程f(x)＝0的根的个数为( )A.0B.1C.2D.35/5\n解析：由于函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f()＞0＞f(－)＝f()，所以函数f(x)在(，)上与x轴有一个交点，必在(－，－)上也有一个交点，故方程f(x)＝0的根的个数为2.答案：C8.(2022·滨州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2022x＋log2022x，那么方程f(x)＝0的实根的个数为 .解析：当x＞0时，f(x)＝0即2022x＝－log2022x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2022x，f2(x)＝－log2022x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.答案：3题组三函数的奇偶性与单调性的综合问题9.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，那么( )A.f(3)＜f(－2)＜f(1)B.f(1)＜f(－2)＜f(3)C.f(－2)＜f(1)＜f(3)D.f(3)＜f(1)＜f(－2)解析：由已知＜0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)＜f(－2)＜f(1)，应选A.此类题能用数形结合更好.答案：A10.(2022·福建高考)定义在R上的偶函数f(x)的局部图象如右图所示，那么在(－2,0)上，以下函数中与f(x)的单调性不同的是( )A.y＝x2＋1B.y＝|x|＋1C.y＝D.y＝解析：∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2,0)上为减函数，5/5\n而y＝x3＋1在(－∞，0)上为增函数，应选C.答案：C11.(2022·山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数.假设方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，那么x1＋x2＋x3＋x4＝ .解析：由f(x－4)＝－f(x)⇒f(4－x)＝f(x)，故函数图象关于直线x＝2对称，又函数f(x)在[0,2]上是增函数，且为奇函数，故f(0)＝0，故函数f(x)在(0,2]上大于0，根据对称性知函数f(x)在[2,4)上大于0，同理推知函数f(x)在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f(x)＝m(m＞0)的两根关于直线x＝2对称，故此两根之和等于4，根据f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，函数f(x)以8为周期，故在区间(－8,0)上方程f(x)＝m(m＞0)的两根关于直线x＝－6对称，此两根之和等于－12，综上四个根之和等于－8.答案：－812.(文)已知函数f(x)＝是奇函数.(1)求实数m的值；(2)假设函数f(x)的区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.解：(1)设x<0，那么－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知5/5\n所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3].(理)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.(1)求a、b的值；(2)假设对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)，知＝－，解得a＝2.故a＝2，b＝1.(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.5/5
