第二章第八节幂函数与二次函数题组一幂函数问题1.已知幂函数f(x)＝xα的局部对应值如下表：x1f(x)1那么不等式f(|x|)≤2的解集是( )A.{x|－4≤x≤4}B.{x|0≤x≤4}C.{x|－≤x≤}D.{x|0＜x≤}解析：由表知＝()α，∴α＝，∴f(x)＝.∴≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.答案：A2.函数y＝(n∈N，n>2)的图象的大致形状是( )解析：由n>2知－<0，∴x≠0，且图象在第一象限内为减函数.答案：A3.比较以下各组值的大小：(1)和－；(2)、（）(3)0.20.5和0.40.3.解：比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值.5/5\n(1)由于幂函数在(0，＋∞)上是减函数，所以，因此，即(2)由于因此(3)由于指数函数y＝0.2x在R上是减函数，所以0.20.5<0.20.3，又由于幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，所以0.20.3<0.40.3，故有0.20.5<0.40.3.题组二二次函数的解析式4.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，那么以下不等式中成立的是( )A.f(－2)＜f(0)＜f(2)B.f(0)＜f(－2)＜f(2)C.f(0)＜f(2)＜f(－2)D.f(2)＜f(0)＜f(－2)解析：∵f(1＋x)＝f(－x)，∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c，∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c，∴2＋b＝－b，即b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋c，其图象的对称轴为x＝，∴f(0)＜f(2)＜f(－2).答案：C5.(2022·海口模拟)方程|x2－2x|＝a2＋1(a∈(0，＋∞))的解的个数是( )A.1个 B.2个C.3个D.4个解析：∵a∈(0，＋∞)，∴a2＋1＞1，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点，∴方程有两解.应选B.答案：B6.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，满足不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3)，且方程f(x5/5\n)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式.解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).∵f(x)＞－2x，∴ax2＋bx＋c＞－2x，即ax2＋(b＋2)x＋c＞0.∵解集为(1,3)，故①②由于f(x)＝－6a有两个相等的实根，故ax2＋bx＋c＋6a＝0中Δ＝0.∴b2－4a(c＋6a)＝0.③联立①②③，故a＝－，b＝－，c＝－，∴f(x)＝－x2－x－.题组三二次函数的性质7.函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，那么f(1)的取值范围是( )A.f(1)25B.f(1)＝25C.f(1)25D.f(1)＞25解析：由题知≤－2，∴m≤－16.∴f(1)＝9－m25.答案：A8.(2022·天津高考)已知函数f(x)＝假设f(2－a2)＞f(a)，那么实数a的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－1,2)C.(－2,1)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：函数f(x)＝的图象5/5\n如图.知f(x)在R上为增函数.∵f(2－a2)＞f(a)，即2－a2＞a.解得－2＜a＜1.答案：C9.已知f(x)＝x2－2x＋3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，那么m的取值范围是 .解析：假设f(x)＝3，那么x＝0或x＝2；假设f(x)＝2，那么x＝1.借助函数图象可知1≤m≤2.答案：1≤m≤2题组四幂函数与二次函数的综合应用10.(2022·福建高考)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是( )A.{1,2}B.{1,4}C.{1,2,3,4}D.{1,4,16,64}解析：设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－对称.而选项D中≠.答案：D11.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，那么a的取值范围是 .解析：当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0恒成立；当a－2≠0时，解之得：－2＜a＜2∴a的取值范围是－2＜a≤2.答案：(－2,2]12.设f(x)＝ax2＋bx＋c，假设6a＋2b＋c＝0，f(1)·f(3)＞0，(1)假设a＝1，求f(2)的值；(2)求证：方程f(x)＝0必有两个不等实根x1、x2，且3＜x1＋x2＜5.解：(1)∵6a＋2b＋c＝0，a＝1，5/5\n∴f(2)＝4a＋2b＋c＝－2a＝－2.(2)证明：首先说明a≠0，∵f(1)·f(3)＝(a＋b＋c)(9a＋3b＋c)＝－(5a＋b)(3a＋b)＞0，假设a＝0，那么f(1)·f(3)＝－b2＜0与已知矛盾，∴a≠0，其次说明二次方程f(x)＝0必有两个不等实根x1、x2，∵f(2)＝4a＋2b＋c＝－2a，∴假设a＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c开口向上，而此时f(2)＜0，∴假设a＜0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c开口向下，而此时f(2)＞0.故二次函数图象必与x轴有两个不同交点，∴二次方程f(x)＝0必有两个不等实根x1、x2，(或利用Δ＝b2－4ac＝b2＋4a(6a＋2b)＝b2＋8ab＋24a2＝(b＋4a)2＋8a2＞0来说明)∵a≠0，∴将不等式－(5a＋b)(3a＋b)＞0两边同除以－a2得(＋3)(＋5)＜0，∴－5＜＜－3.∴3＜x1＋x2＝－＜5.5/5
