第三章第四节函数Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用题组一三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象1.(2022·天津高考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，那么φ的一个值是( )A.B.C.D.解析：∵＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)，将它向左平移|φ|个单位长度，得f(x)＝sin[2(x＋|φ|)＋]，∵它的图象关于y轴对称，∴2(0＋|φ|)＋＝＋kπ.∴φ＝＋，k∈Z.∴φ的一个值是.答案：D2．(2022·全国卷Ⅱ)假设将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，那么ω的最小值为( )A.B.C.D.解析：y＝tan(ωx＋)向右平移个单位长度后得到函数解析式y＝tan，即y＝tan(ωx＋－)，显然当－＝＋kπ时，两图象重合，此时ω＝－6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0时，ω的最小值为.6/6\n答案：D3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如以下图，那么ω＝________.解析：由题意设函数周期为T，那么=-=，∴T=π，∴ω==.答案：题组二求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式4.把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象向左平移个单位长度，所得的曲线的一局部图象如以下图，那么ω、φ的值分别是( )A．1， B．1，-C．2， D．2，-解析：y=sin(ωx+φ)y1=sin[ω(x+)+φ]，∴T==×4，ω=2，当x=π时，2(π+)+φ=2kπ+π，k∈Z，φ=2kπ-，k∈Z，|φ|＜，∴φ=-.答案：D6/6\n5．(2022·江苏高考)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如以下图，那么ω＝________.解析：由图中可以看出：T＝π，∴T＝π＝，∴ω＝3.答案：36．(2022·黄冈模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图角如以下图，f()＝－，那么f(0)＝________.解析：由图象可得最小正周期为.所以f(0)=f()，注意到与关于对称，故f()=-f()=.答案：题组三三角函数模型的应用7．如图，单摆从某点开场来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A．2πs B．πsC．0.5s D．1s解析：T＝＝1，∴选D.6/6\n答案：D8．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωx＋φ)的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A．y＝12＋3sint，t∈[0,24]B．y＝12＋3sin(t＋π)，t∈[0,24]C．y＝12＋3sint，t∈[0,24]D．y＝12＋3sin(t＋)，t∈[0,24]解析：代入坐标验证即可选A.答案：A题组四函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合应用9.y＝sinxsin(x＋)＋sincos2x的最大值和最小正周期分别是( )A.，πB．2,2πC.，2πD．1，π解析：y＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，故最大值为1，最小正周期为π.答案：D10．已知y＝f(x)是周期为2π的函数，当x∈(0,2π)时，f(x)＝sin，那么方程f(x)＝的解集为________．解析：∵x∈(0,2π)时，f(x)＝sin，∴x∈(0,2π)时，由sin＝，得＝，x＝π.又f(x)的周期为2π，∴f(x)＝的解集为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．答案：{x|x＝2kπ＋，k∈Z}6/6\n11．(2022·重庆高考)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为.(1)求ω的值；(2)假设函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到．求y＝g(x)的单调增区间．解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin(2ωx＋)＋2，依题意得＝，故ω＝.(2)依题意得g(x)＝sin[3(x－)＋]＋2＝sin(3x－)＋2.由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．故g(x)的单调增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．12．(文)已知向量a＝(1＋cos(2x＋φ),1)，b＝(1，a＋sin(2x＋φ))(φ为常数且－＜φ＜)，函数f(x)＝a·b在R上的最大值为2.(1)求实数a的值；(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，可得函数y＝2sin2x的图象，求函数y＝f(x)的解析式及其单调增区间．解：(1)f(x)＝1＋cos(2x＋φ)＋a＋sin(2x＋φ)＝2sin(2x＋φ＋)＋a＋1.因为函数f(x)在R上的最大值为2，所以3＋a＝2，即a＝－1.(2)由(1)知：f(x)＝2sin(2x＋φ＋)．6/6\n把函数f(x)＝2sin(2x＋φ＋)的图象向右平移个单位可得函数y＝2sin(2x＋φ)＝2sin2x，∴φ＝2kπ，k∈Z.又∵－＜φ＜，∴φ＝0.∴f(x)＝2sin(2x＋)．因为2kπ－≤2x＋≤2kπ＋⇒kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以，y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(理)已知向量a＝(1＋cosωx,1)，b＝(1，a＋sinωx)(ω为常数且ω＞0)，函数f(x)＝a·b在R上的最大值为2.(1)求实数a的值；(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，可得函数y＝g(x)的图象，假设y＝g(x)在[0，]上为增函数，求ω的最大值．解：(1)f(x)＝1＋cosωx＋a＋sinωx＝2sin(ωx＋)＋a＋1.因为函数f(x)在R上的最大值为2，所以3＋a＝2，故a＝－1.(2)由(1)知：f(x)＝2sin(ωx＋)，把函数f(x)＝2sin(ωx＋)的图象向右平移个单位，可得函数y＝g(x)＝2sinωx.又∵y＝g(x)在[0，]上为增函数，∴g(x)的周期T＝≥π，即ω≤2，∴ω的最大值为2.6/6
