【数学导航】2022届高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语同步练习文第一节 集合的概念与运算1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表示集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系 表示关系 文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集∅⊆A，∅B(B≠∅)30\n3.集合的基本运算并集交集补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为綂UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}1．集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(綂UA)＝U；A∩(綂UA)＝∅；綂U(綂UA)＝A．2．判断集合关系的三种方法(1)一一列举观察；(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．3．数形结合思想数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)∅＝{0}．( )(2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．( )(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A．( )(4)N⊆N*⊆Z.( )(5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．( )30\n答案： (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2．(2022·四川卷)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，解合B为整数集，则A∩B＝( )A．{－1,0} B．{0,1}C．{－2，－1,0,1} D．{－1,0,1,2}解析： 化简集合A得A＝{x|－1≤x≤2}，因为集合B为整数集，所以A∩B＝{－1,0,1,2}．答案： D3．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－<x<}，则( )A．A∩B＝∅ B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析： ∵A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－<x<}，∴A∩B＝{x|－<x<0或2<x<}，A∪B＝R.答案： B4．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为____________．解析： ∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.答案： 1或45．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝________.解析： 由M＝N知或∴或答案： －1或0集合的基本概念1．(2022·重庆万州考前模拟)设集合A＝{－1,0,2}，集合B＝{－x|x∈A且2－x∉A}，则B＝( )A．{1} B．{－2}C．{－1，－2} D．{－1,0}解析： 当x＝－1时，2－x＝3∉A，此时－x＝1∈B，当x＝0时，2－0＝2∈A，当x＝2时，2－2＝0∈A，所以B＝{1}，故选A．30\n答案： A2．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1] B．[1，＋∞)C．[0，＋∞) D．(－∞，1)解析： 由题意知A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则1－2＋a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，1]，故选A．答案： A3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )A．1 B．－1C．2 D．－2解析： 因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，即＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.答案： C 解决集合问题的一般思路(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．集合间的基本关系(1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )A．AB B．BAC．A⊆B D．B⊆A(2)若集合P＝{x|3＜x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x＜3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为( )A．(1,9) B．[1,9]C．[6,9) D．(6,9]解析： (1)由题意知A＝{x|y＝，x∈R}，∴A＝{x|－1≤x≤1}，∴B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，∴BA．(2)依题意，P∩Q＝Q，Q⊆P，于是解得6＜a≤9，即实数a的取值范围是(6,9]，选D．答案： (1)B (2)D30\n1．已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有( )A．1个 B．2个C．4个 D．8个解析： |a|≥2⇒a≥2或a≤－2.又a∈M，(a－2)(a2－3)＝0⇒a＝2或a＝±(舍)，即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个，选B．答案： B2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，则B⊆A，则实数m的取值范围是________．解析： 当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图．则，解得2<m≤4.综上，m的取值范围为m≤4.答案： (－∞，4] 1.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．[注意] 当题目中有条件B⊆A时，不要忽略B＝∅的情况！集合的基本运算(1)(2022·重庆卷)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(綂UA)∩B＝________.(2)(2022·课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝( )A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)解析： (1)U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(綂UA)∩B＝{7,9}．(2)A＝{x|x2－2x－3≥0}＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，故A∩B＝{x|－2≤x≤－1}．故选A．30\n答案： (1){7,9} (2)A1.(2022·东北三省二模)若U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{5,6,7}，则(綂UA)∩(綂UB)＝( )A．{4,8} B．{2,4,6,8}C．{1,3,5,7} D．{1,2,3,5,6,7}解析： 因为綂UA＝{4,5,6,7,8}，綂UB＝{1,2,3,4,8}，所以(綂UA)∩(綂UB)＝{4,8}，故答案为A．答案： A2．已知集合A＝{x||x－2|≤1}，B＝，则A∪B＝________.解析： ∵|x－2|≤1，∴1≤x≤3，即A＝[1,3]．又∵≥0，∴∴x<1或x≥3，即B＝(－∞，1)∪[3，＋∞)．∴A∪B＝R.答案： R3.已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(綂UB)∩A＝{9}，则A＝( )A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析： 因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(綂UB)∩A＝{9}，所以9∈A．若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈綂UB，则(綂UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A．同理1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．答案： D4．已知全集为R，集合A＝，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩綂RB＝( )A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0<x≤2或x≥4}解析： 由题意可知，集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以綂RB＝{x|x<2或x>4}，此时A∩綂RB＝{x|0≤x<2或x>4}，故选C．答案： C5.设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x30\n)}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．[－1,0] B．(－1,0)C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)解析： 因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}，则u＝1－x2∈(0,1]，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D．答案： D 集合的基本运算应把握：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．A级 基础训练1．(2022·辽宁卷)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合綂U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析： ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图，∴綂U(A∪B)＝{x|0<x<1}．答案： D2．(2022·广东广州综合测试一)已知集合A＝，则集合A中的元素个数为( )A．2 B．3C．4 D．5解析： ∵∈Z,2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C．答案： C30\n3．已知集合A＝{－1,0，a}，B＝{x|0<x<1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(0,1)C．{1} D．(1，＋∞)解析： 由题意可知，a∈B，即0<a<1.答案： B4．已知集合M＝{x∈N*|x2－x－6<0}，i为虚数单位，复数z＝的实部，虚部，模分别为a，b，t，则下列选项正确的是( )A．a＋b∈M B．t∈MC．b∈M D．a∈M解析： M＝{x∈N*|－2<x<3}＝{1,2}，z＝＝1－i，则由题意有a＝1，b＝－1，t＝.所以a∈M，b∉M，t∉M，a＋b＝0∉M，D正确．答案： D5．(2022·上海卷)设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)·(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为( )A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析： 若a>1，集合A＝{x|x≤1或x≥a}，利用数轴可知，要使A∪B＝R，需a－1≤1，解得1<a≤2；若a＝1，集合A＝R，满足A∪B＝R，故a＝1符合题意；若a<1，集合A＝{x|x≤a或x≥1}，利用数轴可知，显然满足A∪B＝R，故a<1符合题意．综上，a的取值范围为(－∞，2]．故选B．答案： B6．已知集合A＝{x|y＝}，B＝，则(綂RA)∩B等于________．解析： 因为A＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，所以綂RA＝{x|x<0}．又B＝＝{x|－1<x<2}，所以(綂RA)∩B＝{x|－1<x<0}．答案： {x|－1<x<0}7．(2022·中原名校联盟一模)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.解析： 由B⊆A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0，或x＝2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x＝－2或x＝0.答案： 0或－28．(2022·昆明二模)若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N*}，B＝，则A∩B30\n中元素的个数为________．解析： 解不等式x2－9x<0可得0<x<9，所以A＝{x|0<x<9，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又∈N*，y∈N*，所以y可以为1,2,4，所以B＝{1,2,4}，所以A∩B＝B，A∩B中元素的个数为3.答案： 39．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B．解析： (1)∵9∈(A∩B)，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝3或a＝－3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}；当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，所以a＝5或a＝－3.(2)由(1)可知，当a＝5时，A∩B＝{－4,9}，不合题意，当a＝－3时，A∩B＝{9}．所以a＝－3.10．已知集合A＝{y|y＝2x－1,0<x≤1}，B＝{x|(x－a)[x－(a＋3)]<0}．分别根据下列条件，求实数a的取值范围．(1)A∩B＝A；(2)A∩B≠∅.解析： 因为集合A是函数y＝2x－1(0<x≤1)的值域，所以A＝(－1,1]，B＝(a，a＋3)．(1)A∩B＝A⇔A⊆B⇔即－2<a≤－1，故当A∩B＝A时，a的取值范围是(－2，－1]．(2)当A∩B＝∅时，结合数轴知，a≥1或a＋3≤－1，即a≥1或a≤－4.故当A∩B≠∅时，a的取值范围是(－4,1)．B级 能力提升1．已知数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1<a2<…<an，n≥2)具有性质P：对任意的i，30\nj(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则( )A．{1,3,4}为“权集” B．{1,2,3,6}为“权集”C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有元素1解析： 由于3×4与均不属于数集{1,3,4}，故A不正确，由于1×2,1×3,1×6,2×3，，，，，，都属于数集{1,2,3,6}，故B正确，由“权集”的定义可知需有意义，故不能为0，同时不一定有1，故C，D错误，选B．答案： B2．已知集合A满足条件：当p∈A时，总有∈A(p≠0且p≠－1)，已知2∈A，则集合A的子集的个数至少为________．解析： 依题意，2∈A，所以＝－∈A，从而＝－∈A，＝2∈A，故A中至少有2，－，－三个元素，则集合A的子集的个数至少为23＝8.答案： 83．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；(2)若A⊆綂RB，求实数m的取值范围．解析： A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[1,3]，∴得m＝3.(2)綂RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}．∵A⊆綂RB，∴m－2>3或m＋2<－1.∴m>5或m<－3.故m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．4．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(綂IM)∩N；(2)记集合A＝(綂IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解析： (1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0)＝{－3,2}，∴綂IM＝{x|x∈R且x≠－3}，30\n∴(綂IM)∩N＝{2}．(2)A＝(綂IM)∩N＝{2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或B＝{2}，当B＝∅时，a－1＞5－a，得a＞3；当B＝{2}时，，解得a＝3，综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若¬p，则¬q；逆否命题是若¬q，则¬p.(2)四种命题间的关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的30\n充要条件．1．四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．2．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )(2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．( )(3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.( )(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )答案： (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．下列命题是真命题的为( )A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则＝ D．若x<y，则x2<y2解析： 由＝易得x＝y；由x2＝1，得x＝±1；若x＝y<0，则与均无意义；若x＝－2，y＝1，虽然x<y，但x2>y2.所以真命题为A．答案： A3．(2022·浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件30\n解析： 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A．答案： A4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：________.解析： 原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案： “在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”5．下列命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的充要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中是真命题的是________．解析： ①a＞b⇒/a2＞b2，且a2＞b2⇒/a＞b，故①不正确；②a2＞b2⇔|a|＞|b|，故②正确；③“a＞b”⇒a＋c＞b＋c，且a＋c＞b＋c⇒a＞b，故③正确．答案： ②③四种命题及其相互关系1．命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是( )A．若a>b，则a－1≤b－1 B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1 D．若a<b，则a－1<b－1解析： 根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”，故选C．答案： C2．(2022·陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假解析： “若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”为真命题，所以逆否命题也为真命题，逆命题为“若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数”为假命题，所以否命题也为假命题，故选B．答案： B3．下列命题：30\n①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题；④“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；⑤“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．解析： ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题；④易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；⑤逆命题为“a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”为真命题．答案： ②③⑤ 1.命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．2．命题否定的方法：在根据原命题构造其否命题和逆否命题时，首先要把条件和结论分清楚，其次把其中的关键词搞清楚．注意其中易混的关键词，如“都不是”和“不都是”，其中“都不是”是指的一个也不是，“不都是”指的是其中有些不是．充分必要条件的判定(1)(2022·湖北卷)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆綂UC”是“A∩B＝∅”的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件(2)(2022·天津卷)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析： (1)如图可知，存在集合C，使A⊆C，B⊆綂UC，则有A∩B＝∅.若A∩B＝∅，显然存在集合C．满足A⊆C，B⊆綂UC．故选C．30\n(2)令f(x)＝x|x|，则f(x)＝画出f(x)的图象(如图)，易知f(x)在R上为单调递增函数，因此a>b⇔f(a)>f(b)，故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件，故选C．答案： (1)C (2)C1．(2022·山东卷)给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析： 由q⇒¬p且¬p⇒/q可得p⇒¬q且¬q⇒/p，所以p是¬q的充分而不必要条件．答案： A2．“(m－1)(a－1)>0”是“logam>0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析： (m－1)(a－1)>0等价于或而logam>0等价于或所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m＝0，a＝0时，不能得出logam>0.答案： B 充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．充分条件与必要条件的探求是否存在实数m，使2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件？解析： 欲使2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件，则只要⊆{x|x<－1，或x>3}，即只需－≤－1，∴m≥2.故存在实数m≥2，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件．1.已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是<x<，则m30\n的取值范围是________．解析： 由|x－m|<1得m－1<x<m＋1，若<x<是|x－m|<1成立的充分不必要条件，则或得－≤m≤.答案： 2.是否存在实数m，使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？解析： 欲使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，则只要{x|x<－1，或x>3}⊆，这是不可能的．故不存在实数m使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件．3.设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )A． B．C． D．∪解析： 设A＝{x||4x－3|≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}．解|4x－3|≤1，得≤x≤1，故A＝；解x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，故B＝{x|a≤x≤a＋1}．由綈p是綈q的必要不充分条件，可得p是q的充分不必要条件，从而AB，所以解得0≤a≤.故所求实数a的取值范围是.答案： C 利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验，其思维方式是：(1)若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q⇒/p；(2)若p是q的必要不充分条件，则p⇒/q，且q⇒p；(3)若p是q的充要条件，则p⇔q.30\nA级 基础训练1．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析： 当m＝－3时，a＝(9，－9)，b＝(1，－1)，则a＝9b，所以a∥b，即“m＝－3”⇒“a∥b”；当a∥b时，m2＝9，得m＝±3，所以不能推得m＝－3，即“m＝－3”⇐/“a∥b”．故“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．答案： A2．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是( )A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析： a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0，故选D．答案： D3．已知集合A，B，全集U，给出下列四个命题：①若A⊆B，则A∪B＝B；②若A∪B＝B，则A∩B＝B；③若a∈(A∩綂UB)，则a∈A；④若a∈綂U(A∩B)，则a∈(A∪B)．其中真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析： (1)正确；(2)不正确，由A∪B＝B可得A⊆B，所以A∩B＝A；(3)正确；(4)不正确．答案： B4．(2022·北京卷)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析： 设a＝1，b＝－2，则有a>b，但a2<b2，故a>b⇒/a2>b2；设a＝－2，b30\n＝1，显然a2>b2，但a<b，即a2>b2⇒/a>b.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．答案： D5．(2022·上海静安模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系．下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③ B．②C．②③ D．①②③解析： 本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确，选A．答案： A6．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析： 原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3.答案： 37．(2022·江苏南京、盐城一模)设函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“f(x)为奇函数”是“φ＝”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析： 必要性：当φ＝时，f(x)＝－sin2x，为奇函数；而当φ＝＋2π时，f(x)＝－sin2x，也为奇函数，所以充分性不成立．答案： 充分不必要8．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析： ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得，解得－3≤a＜0，故－3≤a≤0.答案： [－3,0]9．写出命题“若a≥0，则方程x2＋x－a＝0有实根”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解析： 逆命题：“若方程x2＋x－a＝0有实根，则a≥0”．否命题：“若a<0，则方程x2＋x－a＝0无实根．”30\n逆否命题：“若方程x2＋x－a＝0无实根，则a<0”．其中，原命题的逆命题和否命题是假命题，逆否命题是真命题．10．指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；(2)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(3)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解析： (1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B．故p是q的充要条件．(2)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．(3)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q⇒/p，故p是q的充分不必要条件．B级 能力提升1．(2022·福建卷)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为的”( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件解析： 当k＝1时，l：y＝x＋1，由题意不妨令A(－1,0)，B(0,1)，则S△AOB＝×1×1＝，所以充分性成立；当k＝－1时，l：y＝－x＋1，也有S△AOB＝，所以必要性不成立．答案： A2．若命题“x2－2x－3＞0”是命题“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为________．解析： x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x＞3.由题意，{x|x＜a}{x|x＜－1或x＞3}，所以a≤－1.答案： －13．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．解析： 因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，30\n则U＝.假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有⇒m≥.又集合关于全集U的补集是{m|m≤－1}，所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．4．(2022·江苏兴化月考)已知命题：“∃x∈{x|－1<x<1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．解析： (1)由题意知，方程x2－x－m＝0在(－1,1)上有解，即m的取值范围就为函数y＝x2－x在(－1,1)上的值域，易得M＝.(2)因为x∈N是x∈M的必要条件，所以M⊆N.当a＝1时，解集N为空集，不满足题意；当a>1时，a>2－a，此时集合N＝{x|2－a<x<a}，则解得a>；当a<1时，a<2－a，此时集合N＝{x|a<x<2－a}，则解得a<－.综上，a>或a<－.第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． ,1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“∧”“∨”“綈p”．(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断30\npqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词“所有的”“任意一个”，用符号“∀”表示．(2)存在量词“存在一个”“至少有一个”，用符号“∃”表示．(3)全称命题含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(4)特称命题含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定形式命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)1．含逻辑联结词命题真假判断：(1)p∧q中一假即假．(2)p∨q中一真必真．(3)綈p真，p假；綈p假，p真．2．含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．3．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．( )(2)p∨q为假的充要条件是p，q至少有一个为假．( )30\n(3)存在一个集合，它里面没有任何元素．( )(4)“对顶角相等”是全称命题．( )答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(2022·湖南卷)设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则綈p为( )A．∃x0∈R，x＋1>0 B．∃x0∈R，x＋1≤0C．∃x0∈R，x＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0答案： B3．命题p：∀x∈R，sinx＜1；命题q：∃x∈R，cosx≤－1，则下列结论是真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∨¬q D．¬p∧¬q解析： p是假命题，q是真命题，所以B正确．答案： B4．若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否定为____________．答案： 若ab＝0，则a≠0且b≠05．已知命题p：∃x∈R，x2＋≤2，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p∧q、p∨q中是真命题的是________．解析： x＝±1时，p成立，所以p真，q假，p∨q真，p∧q假．答案： p、p∨q全称命题与特称命题1．(2022·安徽卷)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x≥0解析： 全称命题的否定是特称命题，即命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x<0”．故选C．答案： C2．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为真命题的是( )A．∃x0∈R，f(x0)<f(m) B．∃x0∈R，f(x0)>f(m)C．∀x∈R，f(x0)≤f(m) D．∀x∈R，f(x)≥f(m)30\n解析： 由2am＋b＝0，得m＝－，又a>0，∴f(m)是函数f(x)的最小值，即∀x∈R，有f(x)≥f(m)，故选D．答案： D3．(2022·福建福州二模)已知命题“∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)解析： “∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命题，即不等式x2＋2ax＋1<0有解，∴Δ＝(2a)2－4>0，得a2>1，即a>1或a<－1.答案： C4．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：有的三角形的三条边相等．解析： (1)¬p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数根.因为该方程的判别式Δ＝m＋4＞0恒成立，故¬p为假命题．(2)¬p：所有的三角形的三条边不全相等．显然¬p为假命题． 有关全(特)称命题问题的解题策略．(1)判断全(特)称命题真假时，要注意假命题时只需举出一个反例否定即可，而真命题必须保证对限定的集合中每一个元素都成立．(2)写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．含有逻辑联结词的命题的真假判断(1)(2022·辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)(2)(2022·湖南卷)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④30\n解析： (1)命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，错误；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，正确．因此p∨q是真命题，其他选项都不正确，故选A．(2)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C．答案： (1)A (2)C1．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法中正确的是( )A．p或q为真 B．p且q为真C．¬p为真 D．¬q为假解析： 由题知，命题p为真命题，命题q为假命题，故p或q为真命题．答案： A2．设有两个命题，命题p：关于x的不等式(x－3)·≥0的解集为{x|x≥3}，命题q：若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32＜k＜0，那么( )A．“p且q”为真命题 B．“p或q”为真命题C．“¬p”为真命题 D．“¬q”为假命题解析： 不等式(x－3)·≥0的解集为{x|x≥3，或x＝1}，所以命题p为假命题；若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32＜k≤0，所以命题q也是假命题，所以“¬p”为真命题．答案： C 判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤：(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；(3)依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，作出判断即可．利用逻辑联结词探求参数问题已知a>0，且a≠1，命题p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，命题q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p或q”为假，则a的取值范围为( )A． B．∪30\nC． D．∪解析： 当0<a<1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a>1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．若p为假，则a>1.曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4>0，即a<或a>.若q为假，则a∈.若使“p或q”为假，则a∈(1，＋∞)∩，即a∈.故选A．答案： A1.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析： p：∵∀x∈[1,2]，x2－a≥0，∴∀x∈[1,2]，a≤x2，∴a≤1.q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，则Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，得a≤－2或a≥1.若“p∧q”是真命题，则p是真命题且q是真命题，即，∴a≤－2或a＝1.故a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．答案： {a|a≤－2或a＝1}2.已知命题p：复数(a∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点在第二象限，命题q：曲线y＝x2＋(2a－3)·x＋1与x轴没有交点．若“p∨q”为真，则实数a的取值范围为( )A．∪ B．(－∞，－1)∪C．(－∞，－1)∪ D．∪解析： 若命题p为真，由＝＝在复平面上对应的点在第二象限得故a＜－1.若命题q为真，则(2a－3)2－4＜0，即＜a＜.又“p∨q”为真，则p，q至少有一个为真，故a的取值范围是(－∞，－1)∪.30\n答案： B3.已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．解析： 由关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，知0<a<1；由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a>0的解集为R，则，解得a>.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，故或，即a∈∪[1，＋∞)． 根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．A级 基础训练1．(2022·天津卷)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1解析： “∀x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1”．故选B．答案： B2．(2022·山东潍坊3月)已知命题p、q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要要件 D．既不充分也不必要条件解析： 因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q30\n为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．答案： A3．命题p：∃α∈R，sin(π－α)＝cosα；命题q：∀m>0，双曲线－＝1的离心率为，则下面结论正确的是( )A．p是假命题 B．綈q是真命题C．“p∧q”是假命题 D．“p∨q”是真命题解析： 对于命题p，注意到当α＝时，sin(π－α)＝sinα＝sin＝cos，因此命题p是真命题；对于命题q，注意到双曲线－＝1的离心率e＝＝，因此命题q是真命题，綈q是假命题，p∧q是真命题，p∨q是真命题．综上所述，选D．答案： D4．(2022·唐山市高三年级统一考试)已知命题p：∀x∈R，x3<x4；命题q：∃x∈R，sinx－cosx＝－.则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．綈p∧qC．p∧綈q D．綈p∧綈q解析： 若x3<x4，则x<0或x>1，∴命题p为假命题；若sinx－cosx＝sin＝－，则x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)，∴命题q为真命题，∴綈p∧q为真命题．答案： B5．已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lgx0；命题q：∀x∈R，x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“p∨綈q”是假命题．其中所有正确结论的序号为( )A．②③ B．①④C．①③④ D．①②③解析： 对于命题p，取x0＝10，则有10－2>lg10，即8>1，故命题p为真命题；对于命题q，方程x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4×1<0，故方程无解，即∀x∈R，x2＋x＋1>0，所以命题q为真命题．综上“p∧q”是真命题，“p∧綈q”是假命题，“綈p∨q”是真命题，“p∨綈q”是真命题，即正确的结论为①②③.30\n答案： D6．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p是________．解析： 因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．答案： ∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋17．命题“任意x∈R，存在m∈Z，m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析： 由于任意x∈R，x2＋x＋1＝2＋≥＞0，因为只需m2－m≤0，即0≤m≤1，所以当m＝0或m＝1时，任意x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此命题是真命题．答案： 真8．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________．解析： 由题意知命题“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，所以只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2≤a≤2.答案： [－2，2]9．命题p：∀x∈(1，＋∞)，函数f(x)＝|log2x|的值域为[0，＋∞)；命题q：∃m≥0，使得y＝sinmx的周期小于，试判断p∨q，p∧q，¬p的真假性．解析： 对于命题p，当f(x)＝|log2x|＝0时，log2x＝0，即x＝1,1∉(1，＋∞)，故命题p为假命题．对于命题q，y＝sinmx的周期T＝<，即|m|>4，故m<－4或m>4，故存在m≥0，使得命题q成立，故命题q为真命题．所以p∨q为真命题，p∧q为假命题，¬p为真命题．10．已知命题p：存在一个实数x，使ax2＋ax＋1＜0，当a∈A时，非p为真命题，求集合A．解析： 非p为真，即“∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0”为真．若a＝0，则1≥0成立，即a＝0时非p为真；若a≠0，则非p为真⇔⇔0＜a≤4.综上知，所求集合A＝{a|0≤a≤4}．B级 能力提升1．已知命题p：若t≠3且t≠－3，则t2≠9；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是( )A．②③ B．①②④30\nC．①③④ D．①②③④解析： 命题p不好直接判断真假，因为互为逆否的两个命题同真同假，而若t2＝9，则t＝3或t＝－3为真命题，所以p为真命题．因为命题q是真命题，所以綈p为假命题，綈q是假命题，(綈p)∨(綈q)为假命题，p∧q为真命题，从而得①②③④都正确．答案： D2．已知命题p：“a＝1”是“|x|＋≥2”的充要条件；命题q：∃x0∈R，x＋x0－2＞0.则下列命题正确的是________．(填上所有正确命题的序号)①命题“p∧q”是真命题；②命题“(¬p)∧q”是真命题；③命题“p∧(¬q)”是真命题；④命题“(¬p)∧(¬q)”是真命题．解析： 当a＝1时，|x|＋≥2恒成立，当|x|＋≥2不能推出a＝1，所以p是假命题；q：∃x0∈R，x＋x0－2＞0为真命题，所以只有②正确．答案： ②3．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0.q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解析： 由x2－4ax＋3a2<0，a>0得a<x<3a，即p为真命题时，a<x<3a，由得即2<x≤3，即q为真命题时2<x≤3.(1)a＝1时，p：1<x<3.由p∧q为真知p、q均为真命题，则得2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)设A＝{x|a<x<3a}，B＝{x|2<x≤3}，由题意知p是q的必要不充分条件，所以BA，有30\n∴1<a≤2，所以实数a的取值范围是(1,2]．4．已知函数f(x)＝(1)求函数f(x)的最小值；(2)已知m∈R，命题p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意m∈R恒成立；q：函数y＝(m2－1)x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．解析： (1)作出函数f(x)的图象，可知函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(x)min＝f(－2)＝1.(2)对于命题p，m2＋2m－2≤1，故－3≤m≤1；对于命题q，m2－1＞1，故m＞或m＜－.由于“p或q”为真，“p且q”为假，则①若p真q假，则解得－≤m≤1.②若p假q真，则，解得m＜－3或m＞.故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)．30
