【数学导航】2022届高考数学大一轮复习第九章概率同步练习文第一节 随机事件的概率1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．1．概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝Ω3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)概率的加法公式33\n如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．集合法判断互斥事件与对立事件(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的．( )(2)随机事件和随机试验是一回事．( )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×2．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( )A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析： 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．答案： B3．从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A．0.7 B．0.2C．0.1 D．0.3解析： ∵“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”，事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3.选D．答案： D4．(1)某人投篮3次，其中投中4次是________事件；(2)抛掷一枚硬币，其落地时正面朝上是________事件；33\n(3)三角形的内角和为180°是________事件．解析： (1)共投篮3次，不可能投中4次；(2)硬币落地时正面和反面朝上都有可能；(3)三角形的内角和等于180°.答案： (1)不可能 (2)随机 (3)必然5．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为________．答案： 0.74随机事件的关系1．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件．②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件．③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件．④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件．其中，真命题是( )A．①②④ B．②④C．③④ D．①②解析： 对①，将一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错．对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确．对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错．对④，事件A、B为对立事件，则在一次试验中A、B一定有一个要发生，故④正确．答案： B2．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析： 若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．答案： A 理解互斥事件与对立事件应注意的问题33\n(1)对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不可能同时发生外，其并事件应为必然事件，这可类比集合进行理解；(2)具体应用时，可把试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所给事件的关系．随机事件的概率与频率1．某城市2022年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率P其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2022年空气质量达到良或优的概率为________．解析： 由题意可知2022年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝.答案： 2．(2022·陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解析： (1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24. 1.概率与频率的关系33\n频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[注意] 概率的定义是求一个事件的概率的基本方法．互斥事件、对立事件的概率某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？解析： (1)设中靶为事件A，则不中靶为，则由对立事件的概率公式可得：P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.(2)设命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，由题意知P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24.记至少命中8环为事件E，则P(E)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72.记至少命中9环为事件F，则P(F)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.27＋0.21＝0.48.故不够9环为，则P()＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.16xy0.2z(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．33\n解析： (1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋0.04＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.A级 基础训练1．(2022·湖北襄阳模拟)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A．互斥但非对立事件 B．对立事件C．相互独立事件 D．以上都不对解析： 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选A．答案： A2．(2022·河南安阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.5解析： “抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.答案： C3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A． B．C． D．1解析： 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B33\n，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.答案： C4．(2022·山西重点中学联考)从装有5个红球和3个白球的口袋中任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球解析： 对于A，两事件是包含关系，对于B，两事件是对立事件，对于C，两事件可能同时发生．答案： D5．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为( )A． B．C． D．解析： 由于事件总数为6，故P(A)＝＝.P(B)＝＝，从而P()＝1－P(B)＝1－＝，且A与互斥，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.故选C．答案： C6．向三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为________．解析： 设A、B、C分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件A、B、C彼此互斥，且P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.设D表示军火库爆炸，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.所以军火库爆炸的概率为0.225.答案： 0.2257．(2022·河北石家庄模拟)从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张．事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．33\n解析： ∵P(A)＝，P(B)＝，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.答案： 8．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x＞0，y＞0，则x＋y的最小值为________．解析： 由题意可知＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝5＋≥9，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．答案： 99．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解析： 记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.10．一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．解析： 记事件A＝{任取1球为红球}，事件B＝{任取一球为黑球}，事件C＝{任取1球为白球}，事件D＝{任取一球为绿球}，∴P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，33\nP(D)＝，(1)取出的小球是红球或黑球的概率为P1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.(2)法一：取出的小球是红球或黑球或白球的概率为P2＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.法二：“取出的小球是红球或黑球或白球”与“取出的小球为绿球”互为对立事件，故所求的概率为P2＝1－P(D)＝1－＝.B级 能力提升1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )A． B．C． D．解析： 由题意可知⇒⇒⇒＜a≤.答案： D2．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．解析： ∵P(A)＋P(B)＝0.64，P(B)＝3P(A)，∴P(A)＝0.16.答案： 0.163．黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：血型ABABO该血型的人数所占的比例28%29%8%35%已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若他因病需要输血，问：33\n(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解析： (1)任找一人，其血型为A，B，AB，O型血分别记为事件A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′∪D′，根据概率加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.4．袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)“3只球颜色全相同”的概率．(2)“3只球颜色不全相同”的概率．解析： (1)“3只球颜色全相同”包括“3只全是红球”(事件A)，“3只全是黄球”(事件B)，“3只全是白球”(事件C)，且它们彼此互斥，故“3只球颜色全相同”这个事件可记为A∪B∪C，又P(A)＝P(B)＝P(C)＝，故P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝.(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D，则事件为“3只球颜色全相同”，又P()＝P(A∪B∪C)＝.所以P(D)＝1－P()＝1－＝，故“3只球颜色不全相同”的概率为.第二节 古典概型1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．33\n(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．-│-3.古典概型的概率公式P(A)＝.基本事件的求法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为.( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )答案： (1)√ (2)×2．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是( )A． B．C． D．解析： 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为.答案： C33\n3．(2022·陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A． B．B． D．解析： 设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．故满足条件的概率P＝＝.故选B．答案： B4．(2022·江苏卷)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．解析： 从4个数中随机取2个数，共有6种取法，满足乘积为6的有(1,6)(2,3)两种情况，因此概率为P＝＝.答案： 5．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．解析： 点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.答案： 简单古典概型的概率1．(2022·江西卷)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A． B．C． D．解析： 掷两颗骰子，点数有以下情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，33\n(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，其中点数和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，故所求概率为＝.答案： B2．(2022·天津卷)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．解析： (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝＝. 求古典概型概率的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．较复杂的古典概型的概率(2022·四川卷)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；33\n(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解析： (1)由题意，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)(1,2,1)(1,2,2)(1,2,3)(1,3,1)(1,3,2)(1,3,3)(2,1,1)(2,1,2)(2,1,3)(2,2,1)(2,2,2)(2,2,3)(2,3,1)(2,3,2)(2,3,3)(3,1,1)(3,1,2)(3,1,3)(3,2,1)(3,2,2)(3,2,3)(3,3,1)(3,3,2)(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P(A)＝＝.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B．则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P()＝1－＝.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.1．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．解析： (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P＝＝.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，对一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.故满足条件n＜m33\n＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.2．(2022·山东卷)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解析： (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×＝1,150×＝3,100×＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.3．已知集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}，Q＝{y|y＝2n－1,1≤n≤2，n∈N*}，M＝P∪Q.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，试计算：(1)点A正好在第三象限的概率；(2)点A不在y轴上的概率；(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的概率．解析： 由集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}可得P＝{－6，－4,0}，由Q＝{y|y＝2n33\n－1,1≤n≤2，n∈N*}可得Q＝{1,3}，则M＝P∪Q＝{－6，－4,0,1,3}，因为点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，所以满足条件的点A的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25种．(1)点A正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A正好在第三象限的概率P1＝.(2)点A在y轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种，故点A不在y轴上的概率P2＝1－＝.(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的可能情况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)．共8种，故点A落在区域x2＋y2≤10上的概率P3＝. 求较复杂事件的概率问题的方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．A级 基础训练1．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为( )A． B．C． D．解析： 复数(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i为实数，则n2－m2＝0⇒m＝n，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为＝.答案： C2．(2022·湖北武汉市调研测试)已知等比数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝－2an(n∈N*)．若从数列{an}的前10项中随机抽取一项，则该项不小于8的概率是( )A． B．C． D．解析： 依题意可知an＝2·(－2)n－133\n，由计算可知，前10项中，不小于8的只有8,32,128,512,4个数，故所求概率是＝.答案： B3．(2022·浙江金华十校4月模拟)从5名医生(3男2女)中随机等可能地选派两名医生，则恰选1名男医生和1名女医生的概率为( )A． B．C． D．解析： 记3名男医生分别为a1，a2，a3,2名女医生分别为b1，b2，从这5名医生中随机地选派两名医生，有以下10种选法：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2，其中恰选1名男医生和1名女医生的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，共6种选法，故所求事件的概率为P＝＝，选D．答案： D4．在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示的平面区域为W，从W中随机取点M(x，y)．若x∈Z，y∈Z，则点M位于第二象限的概率为( )A． B．C．1－ D．1－解析： 画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P＝.答案： A5．(2022·安徽江南十校摸底)已知＝(1，k)，＝(4,2)，||≤5，k∈Z，则△ABC是钝角三角形的概率为( )A． B．C． D．解析： ∵||＝≤5，∴－2≤k≤2.又∵k∈Z，∴k＝0，±1，±2，±3，±4.∵＝－＝(3,2－k)，33\n若·＜0，则k＜－2，k＝－3，－4；若·＜0，则－1＜k＜3，∴k＝0,1,2；若·＜0，则k＞8(舍去)．所求概率为，故选C．答案： C6．(2022·新课标全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．解析： 记两本数学书分别为a1，a2，语文书为b，则3本书一共有6种不同的排法：a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，其中2本数学书相邻的排法有4种：a1a2b，a2a1b，ba1a2，ba2a1，故所求概率为＝.答案： 7．(2022·广东卷)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．解析： 总的取法有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中含有a的有ab，ac，ad，ae共4种，故所求概率为＝.答案： 8．设A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,3,5,7,9}，集合C是从A∪B中任取2个元素组成的集合，则C(A∩B)的概率是________．解析： A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，则A∪B中有8个元素，在A∪B中任取2个元素的取法有C种．又A∩B＝{1,3,5}，当C(A∩B)时有C种取法，∴P＝＝.答案： 9．做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示点P的坐标，其中x表示第1颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．(1)求点P在直线y＝x上的概率；(2)求点P不在直线y＝x＋1上的概率．解析： 每颗骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36.(1)记“点P在直线y＝x上”为事件A，则事件A有6个基本事件，即A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，33\n所以P(A)＝＝.(2)记“点P不在直线y＝x＋1上”为事件B，则“点P在直线y＝x＋1上”为事件，其中事件有5个基本事件，即＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)}，所以P(B)＝1－P()＝1－＝.10．(2022·河南洛阳质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．解析： (1)由题意可知：＝，解得n＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P(A)＝＝.B级 能力提升1．(2022·东北三校第一次联考)一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b<c时称为“凹数”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A． B．C． D．解析： 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个．当b＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”．当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．33\n∴三位数为“凹数”的概率P＝＝.答案： C2．(2022·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．解析： 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，a2≤b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.答案： 3．(2022·山东日照3月模拟)某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区抽出6个社区进行调查，已知A，B，C三个行政区中分别有12,18,6个社区．(1)求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；(2)若从抽得的6个社区中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至少有1个来自A行政区的概率．解析： (1)社区总数为12＋18＋6＝36个，样本容量与总体的个体数之比为＝.所以从A，B，C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1.(2)设A1，A2为在A行政区中抽得的2个社区，B1，B2，B3为在B行政区中抽得的3个社区，c为在C行政区中抽得的1个社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，c)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，c)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，c)，(B2，B3)，(B2，c)，(B3，c)，共15种．设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件X，则事件X所包含的所有可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，c)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，c)，共9种．所以抽取的2个社区中至少有1个来自A行政区的概率P(X)＝＝.4．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈33\n{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解析： (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．当z＝4时，(b，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，所以P(z＝4)＝＝.(2)①若方程一根为x＝1，则1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立．②若方程一根为x＝2，则4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以③若方程一根为x＝3，则9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以④若方程一根为x＝4，则16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以由①②③④知，(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程为“漂亮方程”的概率为P＝.第三节 几何概型1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．1．几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型的概率公式P(A)＝.33\n几何概型中的几何度量形式的判断方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系；(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )答案： (1)√ (2)√ (3)√2．(2022·湖南卷)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )A． B．B． D．解析： [－2,3]的区间长度为5，满足X≤1的区间长度为3，∴p＝，故选B．答案： B3．如图，正方形ABCD的边长为2，△EBC为正三角形．若向正方形ABCD内随机投掷一个质点，则它落在△EBC内的概率为( )A． B．C． D．解析： 正方形的面积为4，S△EBC＝×2×2×sin60°＝，所以质点落在△EBC33\n内的概率为.答案： B4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析： 试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P＝＝0.05.答案： 0.055.(2022·福建卷)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．解析： 由题意知，这是几何概型问题，＝＝0.18，∵S正＝1，∴S阴＝0.18.答案： 0.18与长度、角度有关的几何概型1．在区间上随机取一个x，sinx的值介于－与之间的概率为( )A． B．C． D．解析： 所求概率为＝，故选A．答案： A2．设p在[0,5]上随机地取值，则方程x2＋px＋＋＝0有实数根的概率为________．33\n解析： 一元二次方程有实数根即Δ＝p2－4＝(p＋1)(p－2)≥0，解得p≤－1或p≥2，故所求概率为＝.答案： 3.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析： 如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为＝.答案： 1.与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝.2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．[提醒] 有时与长度或角度有关的几何概型，题干并不直接给出，而是将条件隐藏，与其他知识综合考查．与体积有关的几何概型在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．解析： 由题意可知，正方体的体积为23＝8，满足点P到点O的距离大于1的几何体的体积为23－·×13，所以概率P＝＝1－.答案： 1－33\n一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A． B．C． D．解析： 根据几何概型知识，概率为体积之比，即P＝＝.答案： A 很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．与面积有关的几何概型(2022·湖北卷)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A． B．C． D．解析： 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，易知C，故由几何概型的概率公式，得所求概率P＝＝＝.答案： D1．(2022·辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )33\nA． B．B． D．解析： ∵半圆的面积π×1＝，SABCD＝2，∴P＝，故选B．答案： B2．在区间[－1,1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x－1的概率是( )A． B．C． D．解析： 点(x，y)分布在正方形区域，画出区域x－y－1≤0，可知所求的概率为.答案： D3．(2022·广东佛山二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A，则事件A发生的概率为( )A． B．C． D．解析： 由题意，得即表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为.答案： C33\n4．(2022·重庆卷)某校早上8∶00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7∶30～7∶50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)．解析： 设小张与小王的到校时间分别为7∶00后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A＝{(x，y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为×15×15＝，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)＝＝.答案： 求解与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．A级 基础训练1．(2022·福建三明质量检测)已知集合M＝{x|－2≤x≤8}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，在集合M中任取一个元素x，则“x∈(M∩N)”的概率是( )A． B．C． D．解析： 因为N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝[1,2]，所以M∩N＝[1,2]，所以所求的概率为＝.33\n答案： A2．若k∈[－3,3]，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆(x－k)2＋y2＝2相切的概率等于( )A． B．C． D．解析： 点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切．故使圆心与点A的距离大于半径即可，即(1－k)2＋1＞2，解得k＜0或k＞2，所以所求k∈[－3,0)∪(2,3]，所求概率P＝＝.答案： C3．已知区域Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，区域E＝{(x，y)|x－2y≥0，x≤4，y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域E内的概率为( )A． B．C． D．解析： 如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB的边界及其内部，区域E表示的平面区域为△COD的边界及其内部，所以点P落在区域E内的概率为＝＝.答案： D4．(2022·山西省第三次四校联考)向边长分别为5,6，的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为( )A．1－ B．1－C．1－ D．1－解析： 在△ABC中，设AB＝5，BC＝6，AC＝，则cosB＝＝33\n，则sinB＝，S△ABC＝×5×6×＝9，分别以A，B，C为圆心，以1为半径作圆，则三个扇形面积之和为以1为半径的半圆，故所求概率为＝1－.答案： A5．(2022·北京昌平模拟)设不等式组表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是( )A． B．C． D．解析： 作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED区域内时，点到直线y＋2＝0的距离大于2.∴P＝＝＝.答案： D6．(2022·云南昆明三中、玉溪一中统考)设a∈[0,10]，则函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为________．解析： 若函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数，则a－2＜0，解得a＜2，又a∈[0,10]，∴0≤a<2，∴函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为＝.答案： 7．(2022·广东惠州4月模拟)设一直角三角形的两条直角边长均是区间(0,1)上的任意实数，则斜边长小于的概率为________．解析： 设两条直角边长分别为a，b，由已知可知a2＋b2＜2，所以所求概率P33\n＝＝.答案： 8．(2022·安徽合肥高三质检)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．解析： (用几何概型，化概率为角度之比)当点P在BC上时，AP与BC有公共点，此时AP扫过△ABC，所以P＝＝＝.答案： 9．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．解析： 如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝＝.10．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，(1)求四棱锥M－ABCD的体积小于的概率；(2)求M落在三棱柱ABC－A1B1C1内的概率；(3)求M落在三棱锥B－A1B1C1内的概率．解析： (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M－ABCD的高为h，则×S四边形ABCD×h＝，又S四边形ABCD＝1，∴h＝.33\n若体积小于，则h＜，即点M在正方体的下半部分，∴P＝＝.(2)∵V三棱柱＝×12×1＝，∴所求概率P1＝＝.(3)∵V三棱锥＝×S△A1B1C1×B1B＝××12×1＝.∴所求概率P2＝＝.B级 能力提升1．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cosx≤1”发生的概率为( )A． B．C． D．解析： 由sinx＋cosx≤1得2sin≤1，即sin≤.由于x∈[0，π]，故x＋∈，因此当sin≤时，x＋∈，于是x∈.由几何概型公式知事件“sinx＋cosx≤1”发生的概率为P＝＝.答案： C2．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．33\n解析： 由题意可知＞，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，所以＝＝＞，又＝，所以＞，故所求的概率为(即为长度之比)．答案： 3．已知集合A＝[－2,2]，B＝[－1,1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．解析： (1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.因x2＋y2＝1的面积S1＝π，故所求概率为P1＝＝.(2)由题意≤即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S2＝4，所求概率为P＝＝.4．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b＜0的概率．解析： (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b＝－1得－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；33\n故满足a·b＝－1的概率为＝.(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}；满足a·b＜0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y＜0}；画出图形如图，矩形的面积为S矩形＝25，阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，故满足a·b＜0的概率为.33
