专题能力训练2 不等式(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若<0,则下列结论不正确的是( ) A.a2<b2B.ab<b2C.a+b<0D.|a|+|b|>|a+b|2.(2022浙江宁波中学调研)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )A.a<5B.a≥7C.5≤a<7D.a<5或a≥73.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)4.已知f(x)=a|x-2|,若f(x)<x恒成立,则a的取值范围为( )A.a≤-1B.-2<a<0C.0<a<2D.a≥15.若x,y满足且z=y-x的最小值为-12,则k的值为( )A.B.-C.D.-6.若m+2n=20(m,n>0),则lgm(lgn+lg2)的最大值是( )A.1B.C.D.27.(2022浙江嘉兴一中适应性模拟)已知xy=1,且0<y<,则的最小值为( )A.4B.C.2D.48.设x,y满足约束条件若0≤ax+by≤2恒成立,则a2+b2的最大值是( )A.1B.C.D.4二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知x,y,z∈R,x2+y2+z2=4,则xz+yz的最大值是 ;又若x+y+z=0,则z的最大值是 . 10.已知实数m,n,且点(1,1)在不等式组表示的平面区域内,则m+2n的取值范围为 ,m2+n2的取值范围为 . 11.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是 . 12.已知实数x,y满足则z=2|x|+y的取值范围是 . 13.(2022浙江温州瑞安七中模拟)若x>0,y>0,则的最小值为 . 14.已知函数f(x)=(1+ax+x2)ex-x2,若存在正数x0,使得f(x0)≤0,则实数a的取值范围是 . 三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x+(x>3).(1)求函数f(x)的最小值;5\n(2)若不等式f(x)≥+7恒成立,求实数t的取值范围.16.(本小题满分15分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a=2,当x∈[-1,3]时,f(x)的最大值不大于7,求b+c的最大值;(2)若当|f(x)|≤1对任意的x∈[-1,1]恒成立时,都有|ax+b|≤M对任意的x∈[-1,1]恒成立,求M的最小值.参考答案专题能力训练2 不等式1.D 解析由题意可知b<a<0,因此选项A,B,C正确.而|a|+|b|=-a-b=|a+b|,故D错误,应选D.2.C 解析如图,当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件.故选C.3.A 解析①∵当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,∴x<1.②∵当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4.③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解.综合①②③,可知x<4.故选A.4.A 解析依题意,f(x)=易知当a≥0时,f(x)<x不恒成立,故a<0.5\n在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)与y=x的图象如图所示,观察可知f(x)<x⇔-a≥1,即a≤-1.故选A.5.D 解析依题意,易知k≤-1不符合题意,由可得直线kx-y+3=0与y=0的交点为,在平面直角坐标系中作出各直线(图略),结合图形可知,当直线z=y-x过点时,z有最小值,于是有0+=-12,k=-.故选D.6.A 解析因为lgm·(lgn+lg2)=lgm·lg2n≤,又m+2n=20≥2,所以mn≤50,从而lgm·(lgn+lg2)≤1,当且仅当m=10,n=5时等号成立.故选A.7.A 解析因为xy=1且0<y<,所以x>,所以x-2y>0.所以=x-2y+≥4,当且仅当x=+1,y=时等号成立.故选A.8.C 解析由约束条件作出可行域如图中阴影所示,联立可得A(2,1),联立可得C(0,1),联立可得B(1,2).由0≤ax+by≤2恒成立,可得画出关于a,b的可行域,如下图阴影部分所示:a2+b2的几何意义是可行域内的点到原点的距离的平方,显然点D到原点的距离最大,由可得D.故a2+b2的最大值为.9.2 解析xz+yz=+2y·=2,当且仅当x=y=z时取等号;∵x2+y2=4-z2,x+y=-z,则(x+y)2=4-z2+2xy≤4-z2+,即z2≤8-2z2,∴-≤z≤.故z的最大值是,当且仅当x=y时取等号.10. [1,4] 解析5\n由点(1,1)在不等式组表示的平面区域内,故有作出可行域如图中阴影三角形ABC,令z=m+2n,则直线z=m+2n过点B(0,2)时,zmax=4,过点C时,zmin=,故m+2n的取值范围为.令|OP|2=m2+n2=u,其中P在阴影三角形ABC内(包括边界),由图知当点P的坐标为(0,2)时,umax=4,当点P的坐标为(0,1)时,umin=1,故m2+n2的取值范围为[1,4].11.(-∞,0)∪{2} 解析当a<0时,显然成立;当a>0时,∵|x+1|+|x-3|的最小值为4,∴a+≤4.∴a=2.综上,可知a∈(-∞,0)∪{2}.12.[-1,11] 解析根据约束条件画出可行域,画出z=2|x|+y表示的虚线部分.由图得当虚线部分z=2|x|+y过点D(0,-1)时,z最小为-1.当虚线部分z=2|x|+y过点A(6,-1)时,z最大为11.故所求z=2|x|+y的取值范围是[-1,11].13. 解析设=t>0,则+t=(2t+1)-≥2,当且仅当t=时取等号.故答案为.14. 解析由f(x)=(1+ax+x2)ex-x2≤0,得a≤-x-,令g(x)=-x-,则g'(x)=,∴g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g(x)的最大值为g(1)=-2,存在正数x0,使得a≤-x-,则a≤-2.15.解(1)∵x>3,∴x-3>0.∴f(x)=x+=x-3++35\n≥2+3=9,当且仅当x-3=,即(x-3)2=9时,上式取得等号.又x>3,∴x=6.∴当x=6时,函数f(x)的最小值是9.(2)由(1)知,当x>3时,f(x)的最小值是9,要使不等式f(x)≥+7恒成立,只需9≥+7,∴-2≤0,即≤0,解得t≤-2或t>-1.∴实数t的取值范围是(-∞,-2]∪(-1,+∞).16.解(1)由题意知,f(x)=2x2+bx+c,当x∈[-1,3]时,f(x)≤7恒成立,即f(x)max≤7.(ⅰ)当-≤1,即b≥-4时,f(x)max=f(3)=18+3b+c≤7,得3b+c≤-11,故b+c=(3b+c)+2(-b)≤-11+8=-3.(ⅱ)当->1,即b<-4时,f(x)max=f(-1)=2-b+c≤7,得-b+c≤5,故b+c=(-b+c)+2b<5-8=-3.综上,可得(b+c)max=-3.(2)当|x|≤1时,易知≤1,≤1,故由题意知≤1,≤1,所以|ax+b|=≤1+1=2,所以M≥2.故M的最小值为2.5
