专题能力训练18 概率与概率分布(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.(2022浙江金华十校期末)有各不相同的5个红球、3个黄球、2个白球,事件A:从红球和黄球中各选1个球,事件B:从所有球中选取2个球,则事件A发生是事件B发生的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为( )ABCD3.同时掷两个骰子,则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( )ABCD4.中秋节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )ABCD5.在高三的一个班中,有的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么数学成绩优秀的学生数ξ~B,则P(ξ=k)取最大值的k值为( )A.0B.1C.2D.36.随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=( )ABCD7.随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=( )X02aPpA.2B.3C.4D.58.(2022浙江绍兴一模)已知p>0,q>0,随机变量ξ的分布列如下:ξpqPqp若E(ξ)=,则p2+q2=( )ABCD.1二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 . 5\n10.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是 . 11.盒中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中随机摸出3个小球,记摸到黑球的个数为X,则P(X=2)= ,E(X)= . 12.某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏,根据他的游戏经验,每次开启一个新的游戏,这三个关卡他能够通关的概率分别为(这个游戏的游戏规则是:如果玩者没有通过上一个关卡,他照样可以玩下一个关卡,但玩该游戏的得分会有影响),则此人在开启一个这种新的游戏时,他能够通过两个关卡的概率为 ,设X表示他能够通过此游戏的关卡的个数,则随机变量X的数学期望为 . 13.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.30.3若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则E(Y)= ,D(Y)= . 14.已知离散型随机变量X的分布列为X012Pa则变量X的数学期望E(X)= ,方差D(X)=. 三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)2022年3月,智能共享单车项目正式登陆某市,两种车型(“小绿车”“小黄车”)采用分时段计费的方式,“小绿车”每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算);“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为,三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”,丙租用“小黄车”.(1)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;(2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.16.(本小题满分15分)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则试验结束.(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率;(2)记试验次数为X,求X的分布列及数学期望E(X).5\n参考答案专题能力训练18 概率与概率分布1.A 解析事件A:从红球和黄球中各选1球,能推出事件B:从所有球中选取2球,是充分条件;事件B:从所有球中选取2球,推不出事件A:从红球和黄球中各选1球,不是必要条件.故选A.2.A 解析令A=“甲、乙下成和棋”,B=“甲获胜”,C=“甲输”,则=“甲不输”.∵P(A)=,P(B)=,∴P(C)=1-.∴P()=1-.故甲不输的概率为.3.C 解析同时抛掷两个骰子,向上的点数共有36个结果,其中点数之差的绝对值为4的结果有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2),共4个,所求概率为,故选C.4.B 解析“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,所以P()=,P()=,P()=,由题意知,A,B,C相互独立.所以三人都不回老家过节的概率为P()=P()P()P()=.故至少有一人回老家过节的概率为P=1-.5.B 解析由解得≤k≤,因为k为自然数,所以k的最大值为1.故选B.6.B 解析设P(X=1)=p,P(X=2)=q,∵E(X)=0×+p+2q=1,①又+p+q=1,②由①②得p=,q=,∴D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=.故选B.7.C 解析p=1-,E(X)=0×+2×+a×=2⇒a=3,∴D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1,∴D(2X-3)=22D(X)=4.8.C 解析∵p>0,q>0,E(ξ)=,∴由随机变量ξ的分布列的性质得∴p2+q2=(q+p)2-2pq=1-.故选C.9. 解析由题意知,所求概率P=.10. 解析从A,B中各取一个数,有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中和为4的有两种情况(2,2),(3,1),故所求事件的概率P=.11. 解析P(X=2)=,5\n由P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=3)=,ξ的分布列为ξ0123pE(X)=.12. 解析随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.又P(X=2)=,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=3)=.所以,随机变量X的分布列为X0123P所以随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×.13.5.8 8.96 解析E(X)=0+1×0.1+2×0.1+3×0.3+4×0.3=2.4,D(X)=2.24.∴E(Y)=2E(X)+1=5.8;D(Y)=22D(X)=8.96.14.1 解析a+=1,解得a=,所以期望E(X)=0×+1×+2×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×.15.解(1)由题意得,甲、乙、丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为.记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A,则P(A)=.答:甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为.(2)ξ可能取值有2,2.5,3,3.5,4;P(ξ=2)=;P(ξ=2.5)=;P(ξ=3)=;P(ξ=3.5)=;P(ξ=4)=.甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为ξ22.533.54P所以E(ξ)=2×+2.5×+3×+3.5×+4×.16.解(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A,则P(A)=.(2)由题知X的可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.所以X的分布列为5\nX1234P所以E(X)=1×+2×+3×+4×.5
