专题能力训练2 不等式、线性规划一、能力突破训练1.已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.1x2+1>1y2+1B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y32.已知函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,则f(2-x)>0的解集为( )A.{x|x>2或x<-2}B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4}D.{x|0<x<4}3.不等式组|x-2|<2,log2(x2-1)>1的解集为( )A.(0,3)B.(3,2)C.(3,4)D.(2,4)4.若x,y满足x≤3,x+y≥2,y≤x,则x+2y的最大值为( )A.1B.3C.5D.95.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),若不等式f(x)>0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)<0的解集是( )A.-∞,-32∪12,+∞B.-32,128\nC.-∞,-12∪32,+∞D.-12,326.已知实数x,y满足x≥0,y≥0,x3+y4≤1,则x+2y+3x+1的取值范围是( )A.23,11B.[3,11]C.32,11D.[1,11]7.已知变量x,y满足约束条件x+y≥0,x-2y+2≥0,mx-y≤0,若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于( )A.-2B.-1C.1D.28.已知变量x,y满足约束条件x+y≤1,x-y≤1,x≥a,若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[-1,1]D.[-1,1)9.(2022全国Ⅱ,理14)若x,y满足约束条件x+2y-5≥0,x-2y+3≥0,x-5≤0,则z=x+y的最大值为 . 10.(2022浙江,12)若x,y满足约束条件x-y≥0,2x+y≤6,x+y≥2,则z=x+3y的最小值是 ,最大值是 . 11.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元. 12.设不等式组x+y-11≥0,3x-y+3≥0,5x-3y+9≤0表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是 . 二、思维提升训练13.已知x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )8\nA.12或-1B.12或2C.1或2D.-1或214.设对任意实数x>0,y>0,若不等式x+xy≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为( )A.6+24B.2+24C.6+24D.2315.设x,y满足约束条件4x-3y+4≥0,4x-y-4≤0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为8,则ab的最大值为 . 16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3=12y,则1x+4y的最小值为 . 17.若函数f(x)=x2+ax+1x-1·lgx的值域为(0,+∞),则实数a的最小值为 . 18.已知存在实数x,y满足约束条件x≥2,x-2y+4≥0,2x-y-4≤0,x2+(y-1)2=R2(R>0),则R的最小值是 . 8\n专题能力训练2 不等式、线性规划一、能力突破训练1.D 解析由ax<ay(0<a<1)知,x>y,故x3>y3,选D.2.C 解析∵f(x)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,∴b-2a=0,即b=2a,∴f(x)=ax2-4a.∴f'(x)=2ax.又f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,∴a>0.由f(2-x)>0,得a(x-2)2-4a>0,∵a>0,∴|x-2|>2,解得x>4或x<0.3.C 解析由|x-2|<2,得0<x<4;由x2-1>2,得x>3或x<-3,取交集得3<x<4,故选C.4.D 解析由题意画出可行域(如图).设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-12的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9.故选D.5.A 解析由f(x)>0,得ax2+(ab-1)x-b>0.∵其解集是(-1,3),∴a<0,且1-aba=2,-ba=-3,解得a=-1或a=13(舍去),∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3,∴f(-2x)=-4x2-4x+3,由-4x2-4x+3<0,得4x2+4x-3>0,解得x>12或x<-32,故选A.6.C 解析x+2y+3x+1=1+2(y+1)x+1.其中y+1x+1表示两点(x,y)与(-1,-1)所确定直线的斜率,由图知,kmin=kPB=-1-0-1-3=14,kmax=kPA=-1-4-1-0=5,所以y+1x+1的取值范围是14,5,x+2y+3x+1的取值范围是32,11.故选C.8\n7.C 解析画出约束条件x+y≥0,x-2y+2≥0的可行域,如图,作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2),由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选C.8.C 解析设z=x+2y,要使x+2y≥-5恒成立,即z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a≤1,由z=x+2y,得y=-12x+z2,平移直线y=-12x+z2,由图象可知当直线经过点A时,直线y=-12x+z2的截距最小,此时z最小,即x+2y=-5,由x+2y=-5,x-y=1,解得x=-1,y=-2,即A(-1,-2),此时a=-1,所以要使x+2y≥-5恒成立,则-1≤a≤1,故选C.9.9 解析由题意,作出可行域如图.要使z=x+y取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,zmax=9.8\n10.-2 8 解析由约束条件x-y≥0,2x+y≤6,x+y≥2画出可行域,如图所示的阴影部分.由z=x+3y,可知y=-13x+z3.由题意可知,当目标函数的图象经过点B时,z取得最大值,当目标函数的图象经过点C时,z取得最小值.由y=x,2x+y=6,得x=2,y=2,此时z最大=2+3×2=8,由2x+y=6,x+y=2,得x=4,y=-2,此时z最小=4+3×(-2)=-2.11.216000 解析设生产产品Ax件,生产产品By件,由题意得1.5x+0.5y≤150,x+0.3y≤90,5x+3y≤600,x,y∈N,即3x+y≤300,10x+3y≤900,5x+3y≤600,x,y∈N.目标函数z=2100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),8\n作直线y=-73x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,由5x+3y=600,10x+3y=900,解得x=60,y=100,所以zmax=2100×60+900×100=216000.12.1<a≤3 解析作出平面区域D如图阴影部分所示,联系指数函数y=ax的图象,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点,则a的取值范围是1<a≤3.二、思维提升训练13.D 解析在平面直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的△ABC,目标函数z=y-ax可变形为y=ax+z,z的几何意义为直线y=ax+z在y轴上的截距.8\n因为z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,所以直线y=ax+z与区域三角形的某一边平行,当直线y=ax+z与边线x+y-2=0平行时,a=-1符合题意;当直线y=ax+z与边线x-2y-2=0平行时,a=12不符合题意;当直线y=ax+z与边线2x-y-2=0平行时,a=2符合题意,综上所述,实数a的值为-1或2.故选D.14.A 解析原不等式可化为(a-1)x-xy+2ay≥0,两边同除以y,得(a-1)xy-xy+2a≥0,令t=xy,则(a-1)t2-t+2a≥0,由不等式恒成立知,a-1>0,Δ=1-4(a-1)·2a≤0,解得a≥2+64,amin=2+64,故选A.15.2 解析画出可行域如图阴影部分所示,目标函数变形为y=-abx+zb,由已知,得-ab<0,且纵截距最大时,z取到最大值,故当直线l过点B(2,4)时,目标函数取到最大值,即2a+4b=8,因为a>0,b>0,由基本不等式,得2a+4b=8≥42ab,即ab≤2(当且仅当2a=4b=4,即a=2,b=1时取“=”),故ab的最大值为2.16.3 解析由2x-3=12y,得x+y=3,故1x+4y=13(x+y)1x+4y=135+4xy+yx≥13(5+4)=3,当且仅当x+y=3,4xy=yx,即x=1,y=2(x,y∈(0,+∞))时等号成立.17.-2 解析函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由lgxx-1>0及函数f(x)的值域为(0,+∞)知x2+ax+1>0对∀x∈{x|x>0,且x≠1}恒成立,即a>-x-1x在定义域内恒成立,而-x-1x<-2(当x≠1时等号不成立),因此a≥-2.18.2 解析根据前三个约束条件x≥2,x-2y+4≥0,2x-y-4≤0作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.8
